基于提升直观想象素养的“函数的零点”问题初探
2019-10-21何开应
何开应
摘 要:直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括:利用图形描述数学问题,建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路。
关键词:直观想象;函数的零点;分段函数
“函数的零点”是普通高中课程标准实验教科书数学A必修一 第三章第一节“函数与方程”中的内容。教科书是这样定义函数的零点:对于函数 ,把使 的实数 叫做函数 的零点。因此,函数零点的定义中充分体现出直观想象能力的要求。那么直观想象素养的提升在“函数的零点”问题中有哪些体现呢?
一、初等函数下的“函数的零点” 问题
在中学数学课程中,基本初等函数有以下六个:常量函数 ( 是常数);幂函数 ( 是常数);指数函数 ;对数函数 ;三角函数 。由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数,统称为初等函数。那么,初等函数下的“函数的零点”是如何体现直观想象素养的?
(一)可求出“函数的零点”问题
例1【12湖北理-9】函数 在区间 上的零点个数为( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
【解析】令 得 ,则 或 ,
即 或 .
又 , ,共有6个零点.故选C.
【初探一】对于可求出“函数的零点”的问题,常有两种题型:第一,根据函数的解析式,求出方程的根与函数的零点或零点个数;第二,已知函数的零点个数,求函数解析式中的参数值或参数的取值范围。
这一问题下的直观想象要求是:会画基本初等函数的图象,会根据图象找到其与x轴交点的横坐标。
(二)不可求出“方程的根与函数的零点”问题
例2【13天津理-7】函数 的零点个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】令 得 ,
即 ,
所以函数 的零点个数
即为函数 与 图像的交点个数.
在同一直角坐标系中画出函数 与
的图像如图所示,易知有2个交点,
即函数 有2个零点,故选B.
【初探二】对于不可求出“函数的零点”的问题,三种题型:第一,根据函数的解析式,判断方程的根或函数的零点所在的区间;第二,根据函数的解析式,判断方程的根或函数的零点个数;第三,已知函数的零点个数,求函数解析式中的参数值或参数的取值范围。
这一问题下的直观想象要求是:会将零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题,会用变换法画函数的图象,会根据图象找到交点个数。
二、分段函数下的“函数的零点” 问题
例3【12辽宁理-11】设函数 满足 ,且当 时, .又函数 ,则函数 在 上的零点个数为( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【解析】令 得 ,即 ,
则 在 上的零点个数等价于函数 与 的图像在区间 上的交点个数.
根据已知条件,函数 是偶函数,
且周期是2,在同一直角坐标系中
画出函数 与 的图像如图所示,
由图可知函数 与 的图像在区间 上的交点个数有6个,
故函数 在 上的零点个数为6个.故选B.
总之,数学是研究空间形式和数量关系的科学,需要抽象和概括,也需要直观和想象。通過直观想象核心素养的培养,学生能够养成利用图形思考问题的习惯,提升数形结合的能力,建立良好的数学直觉,理解事物本质和发展规律。
参考文献:
[1]李霞,黄凯.以函数零点的问题为例——谈数学核心素养培养[J].中国农村教育,2019(20):192.