递推思想在概率统计当中的应用

陈迪群

摘 要：递推思想是研究和解决数学问题的一种重要思想，指的是一种用若干步可重复运算来描述复杂问题的方法。递推是序列计算中的一种常用算法，通常是通过计算前面的一些项来得出序列中的指定项的值。递推算法产生于古代的逻辑推理学说，有着相当明显的规律性和极为严格的逻辑性，并且也有很大的可操作性，因而在近代被运用在了数学教学领域，取得了较好的效果。

关键词：递推思想；概率统计；高考趋势；综合能力

概率统计是高中数学重要的一部分，它是通过研究自然界当中的隨机现象，总结其发生规律性的一门学科。概率统计还需要利用实验给统计方法做出严格的理论证明，并判定各种方法应用的条件、方法、公式的可靠度和局限性。概率统计的知识在现实当中对企业的生产和人们的生活也有很强的指导性，因此概率统计的知识有很强的实践性，高中学生学好概率统计有很强的的现实意义。

一、研究高考趋势，重视学生的综合能力

随着近几年教育的改革，可以发现学科之间知识综合性的考查越来越明显，不仅要求学生能够掌握教材当中的知识，还要能够将各种知识进行组合，站在整体的高度进行灵活运用。可以通过对近几年全国一卷理科数学的考点及思想进行分析从而发现高考命题趋势，现在越来越来重视考查学生的综合问题的处理能力，尤其这几年在概率统计方面体现得尤为明显，像2016，2017，2018，2019年概率统计方面的解答题都是如此。因此高中数学教师想要提升教学质量，就必须要把握高考趋势，重视学生综合能力的培养。下面以2019全国高考理科数学21题为例，介绍一下现在高考对学生综合能力的考查。它的难点在于甲药的治愈率是和乙药有密切联系，不能将其单独进行分割，必须要考虑乙药的效果，因此，二者的效果其实都是相对而言的。第一问只要掌握X的三种情况即可得出答案，第二问涉及到了递推思想，就是要计算出i=0，1，……8时的各种情况，从而证明数列是等比数列。本题涉及到了概率、数列、运算等多种数学知识，要求学生具有较高综合能力才能做出正确的解答。

二、结合递推思想，重视概率统计教学

从以上案例可以看出，近几年的高考加强了对概率统计方面知识的考查，连续几年将概率统计知识作为压轴题目。从考生的结果来看，大部分优秀学生都不能正确地解答这些题目，只有极少数尖子生才能完成，数学成为了影响考生高考成绩的关键，概率统计成为了数学教学的重点和难点。本人在教学当中发现，递推思想是一种重要的教学手段，在概率统计教学当中具有十分有效的作用。例如，抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上记1分，反面朝上记2分，求证明：得n分的概率为 [2+（﹣ ）n]。这道题是第十二届加拿大数学奥林匹克试题，乍一看确实不太好证明，但是如果利用递推思想将n的前几位数字代入公式当中就会变得很容易，首先是n=1，这时公式结果为 ，而此时硬币得1分的概率，即正面朝上的概率正是 。当n=2时，公式结果为 ，根据题意n=2有两种情况，即投掷了两次全都是正面朝上，这时概率为 ，第二种情况为投掷一次正好是反面，此时概率为 ，二者相加正好为 ，以此进行类推，就容易得出结论。因此，递推思想在现实当中有很强的实践意义，是基于条件变化之后，对结果的一种推断，教师应当重视递推的教学方法。

三、理论结合实际，提升学生的实践能力

数学是一门很有现实意义的学科，从日常生活当中的购物，到企业财政收支的计算，再到工程的预算等，可以说涉及到了生活的方方面面。数学的最终目的就是为了解决现实问题，教育部也明确要求要重视培养学生解决现实问题的能力，这样数学的学习就会更加有意义。因此教师在教学当中，应当以现实生活当中发生的现象为教学案例，创设生活情境，让学生在数学学习的过程中更加关注社会现实，从而培养学生学习的兴趣。从近几年的高考趋势来看，越发重视对现实问题的分析，而概率的问题又与现实结合得十分紧密，几乎很多事情的发生和不发生都与概率有关。例如，一农民养着10只小兔，公母各5只，4年以后小兔子会长大并且进行繁殖，一次繁殖10只（还定义为公母各5只），此后每年繁殖一次，而兔子的寿命为8年，求n年以后农民家里兔子的数量？计算农民家里有100只兔子的概率？这也是一道具有典型意义的题目，需要学生认真进行审题，了解成年兔子和幼年兔子的关系，才能做出正确的解答。

综上所述，递推思想是一种重要的数学教学思想，蕴含着严密的逻辑性和明显的规律性，对概率统计教学有着有力的促进作用。通过研究近几年的高考趋势可以明显发现，高考对学生的综合能力考查越来越突出，对概率统计这方面的知识考查越来越重视。因此，必须要研究高考趋势，重视学生综合能力的培养；利用递推思想，来解决概率统计教学当中的重点知识和难点知识；最后还要理论结合实际，发挥数学的实用价值，提升学生的实践能力和解决现实问题的能力，只有这样才能提升学生的高考数学成绩，提高教学的质量，为社会培养更多高素质人才。

参考文献：

[1]王燕萍，吕震宙，宋述芳.“双一流”建设视域下“概率论与数理统计”教学实践创新[J].黑龙江教育（高教研究与评估），2019（08）：48-51.

[2]胡群.数学归纳法教学再探——从知识的产生过程中诠释递推思想[J].中学数学教学参考，2007（17）：21-22.