弱M-可补子群对合成因子的影响

高百俊，张佳，朱振扬

（1.伊犁师范大学数学与统计分院，新疆伊宁835000；2.西华师范大学数学与信息学院，四川南充637009；3.扬州大学数学与科学学院，江苏扬州225000）

0 引 言

本文所涉及的群均为有限群，群G的极大子群M记作M＜ ·G，Sn(An)表示n次对称群(交代群)。未交代的概念和符号可参见文献[1]。

近十几年来，关于群G的p-超可解性研究已经取得了一系列成果[2-4]，从这些成果中不难发现，群的p-可解性是研究其p-超可解性的充分条件之一。MONAKHOV等[5]提出了MP-可补子群的概念，考虑群阶的极小素因子和二极小素因子，并对群的p-超可解性进行了研究。GAO等[6]从群合成因子的角度，利用G的M5-可补子群的性质，在去除“群是5-可解的”这一前提条件下对MONAKHOV等[5]的结论做了进一步探讨。MIAO等[7]给出了弱M-可补子群的概念，对G的超可解性进行了探讨。在以上研究工作的基础上，笔者将主要考虑|G|的素因子5和7，利用给定阶的弱M-可补子群的性质，对群的合成因子结构进行探究。

1 预备知识

定义1[7]设G是群，H≤G。若∃B≤G使得：(1)G=HB，(2)若H1/HG＜ ·H/HG，则H1B=BH1＜G，其中HG为包含在H中的G的极大正规子群，则称子群H在G中是弱M-可补的。

定义2[8]设G是群，H≤G。若∃B≤G，使得G=HB，且对∀H1＜ ·H，有H1B＜G，则称子群H在G中是M-可补的。子群B称为H在G中的一个M-补。

引理1[5]设G是群，则

(1)设H≤M≤G，若H在G中弱M-可补，则H在M中弱M-可补。

(2)令N⊴G且N≤H。H在G中弱M-可补当且仅当H/N在G/N中弱M-可补。

引理2[5]设H为群G的一个弱M-可补子群，B为H在G中的弱M-补。若H1＜ ·H且HG≤H1，使得|H:H1|=p，则|G:H1B|=p。

引理3[1]设G是群，H≤G。若|G:H|=n，则|G:HG|为(n!，|G|)的因子。

引理4[9](Tate定理) 令P是G的一个Sylowp-子群，N为G的一个正规子群。如果N∩P≤Φ(P)，那么N是p-幂零的。

引理5[1](Frattini论断)若N⊴G，P∈Sylp（N）,则G=NG(P)N。

引理6[10]设P∈Sylp(G)，且P是循环的。若P的某一个非平凡子群正规于G，则G是p-超可解的。

引理7[10]设P∈Sylp(G)，d是p的方幂且2＜d＜|P|。若P的每一个d阶子群H都满足H⊲G，则G是p-超可解的。

2 主要结论

定理1设G是群，P是G的一个Sylow5-子群。若P在G中是弱M-可补的，则G的合成因子H/K满足下列3种情形之一：

(1)H/K是5阶循环群；(2)H/K是5′-群 ；(3)H/KA5。

证明因为P在G中是弱M-可补的，所以存在B≤G，使得G=PB，且对于P的满足P1/PG＜·P/PG的极大子群P1，都有P1B=BP1＜G。

情形1PG≠1。由引理1(2)知，G/PG的合成因子满足定理结论且PG是可解群，进而G的合成因子满足定理结论。特别地，若P⊴G，则PG=P。于是G/P为 5′-群，即群列P⊴G的合成因子为 5′-群且P是可解群，因此，G的合成因子满足定理结论。

情形2PG=1。在这种情形下，P在G中是M-可补的，于是∃B≤G使得G=PB，且对∀Pi＜·P都有PiB≤G。由引理2可知，|G:PiB|=5。令δ={Pi|∀Pi＜ ·P}。 如果存在某个Pi∈δ，使得(PiB)G=1，那么由引理3知，G同构嵌入S5。由S5的子群结构知，|G|=5，10，60或120，即G的合成因子满足定理结论。如果∀Pi∈δ，都有(PiB)G≠ 1，那么 (1)若∃Pi∈δ，使得P(PiB)G＜G，则由引理1(1)易知，P(PiB)G的合成因子满足定理结论。因为(PiB)G⊴P(PiB)G，所以群列1⊴(PiB)G的合成因子满足定理结论。又由引理3可知，G/(PiB)G同构嵌入S5，所以G的合成因子满足定理结论。(2)若对 ∀Pi∈δ，都有G=P(PiB)G，则G/(PiB)G=P(PiB)G/(PiB)GP/P∩(PiB)G同构嵌入S5，即|G/(PiB)G|=5。又|G:PiB|=5，由|G:(PiB)G|=|G:PiB|·|PiB: |(PiB)G易知(PiB)G=PiB且G/PiB为5阶循环群。由此可得G/∩(PiB)同构于C5×…×C5的一个子群且为可解群，于是G/∩(PiB)满足定理结论。若∩(PiB)=1，则G的合成因子满足定理结论。若∩(PiB)≠ 1，则由引理4知，∩(PiB)为5-幂零，进而G的合成因子满足定理结论。

证毕。

定理 2设G是群，P是G的一个Sylow5-子群。若存在P的一个子群D满足1＜D≤P，使得P的每一个阶为|D|的子群H在G中是弱M-可补的，那么G的合成因子H/K满足下列3种情形之一：

(1)H/K是5阶循环群；(2)H/K是 5′-群；(3)H/KA5。

证明如果D=P，那么，由定理1可得证。下面假设1＜D＜P。分3种情形证明。

情形1P有一个真子群H满足|H|=|D|，使得1＜HG＜H。

由引理1(2)知，G/HG的合成因子满足定理结论且HG是可解群，进而G的合成因子满足定理结论。

情形2P有一个真子群H满足|H|=|D|，使得HG=1。

在此情形下，H在G中是M-可补的，即∃B≤G，使得G=HB，且对 ∀Hi＜ ·H，有HiB＜G。由引理 2，可得|G:HiB|=5。令δ={Hi|∀Hi＜ ·H}，若∃H1∈δ，使得 (H1B)G=1，则由引理3知，GG/(H1B)G同构嵌入S5，于是G的Sylow5-子群的阶为5，得到D=P，矛盾。因此，对 ∀Hi∈δ，有(HiB)G≠ 1。由引理5得G=(HiB)GNG(Pi)，其中Pi∈Syl5((HiB)G)。(1)若NG(Pi)＜G，则由引理1(1)知，(HiB)G的合成因子满足定理结论，又G/(HiB)G同构嵌入S5，所以G的合成因子也满足定理结论。(2)若NG(Pi)=G，则Pi⊴G。如果P是循环的，则1 ≠Pi⊴G(若Pi=1，则P=D)。由引理6可知，G是5-超可解的，则G的合成因子也满足定理结论。如果P非循环，则∃Pj＜·P且Pj≠Pi。 若NG(Pj)＜G，通过与前面类似的证明，可得G的合成因子也满足定理结论。若NG(Pj)=G，则Pj⊴G。于是P=PjPi⊴G，从而G/P是5-可解的，进而G是5-可解的，因此G的合成因子也满足定理结论。

情形3P的每一个阶为|D|的真子群H，均满足HG=H，即H⊲G。

由引理7可知，G是5-超可解的，则G的合成因子也满足定理结论。

证毕。

定理 3设G是群，P是G的一个Sylow7-子群。若P在G中是弱M-可补的，则G的合成因子H/K满足下列4种情形之一：

(1)H/K是7阶循环群；(2)H/K是7′-群；(3)H/KA7；（4）H/KPSL(2,7)。

证明分以下2种情形：

情形1PG≠1。因为P在G中是弱M-可补的，所以由引理1(2)知，G/PG的合成因子满足定理结论，进而G的合成因子满足定理结论。特别地，当P⊴G时，即PG=P，则G/P为 7′-群 ，由此可知P⊴G的合成因子为7′-群且P是可解群，因此G的合成因子满足定理结论。

情形2PG=1。在这种情形下，P在G中是M-可补的，于是由引理2可知，∃B≤G，使得

令δ={Pi|Pi＜ ·P}，若存在某个Pi∈δ，使得(PiB)G=1，由引理 3知，G同构嵌入S7，由S7的子群结构可知，G的合成因子满足定理结论。若对∀Pi∈δ，有(PiB)G≠ 1，则考虑(1)若 ∃Pi∈δ，使得P(PiB)G＜G，则由引理1(2)知，P(PiB)G的合成因子满足定理结论。因为(PiB)G⊴P(PiB)G，所以1⊴(PiB)G的合成因子满足定理结论。又因为G/(PiB)G同构嵌入S7，所以G的合成因子满足定理结论。(2)若对 ∀Pi∈δ，有G=P(PiB)G，则有其中(PiB)G的7-部分是P的极大子群，即又因为(PiB)G≤PiB，所以(PiB)G=PiB且G/PiB为7阶循环群。由此可得G/∩(PiB)同构嵌入于C7×…×C7且为可解群，于是G/∩(PiB)的合成因子满足定理结论。若∩(PiB)=1，则G的合成因子满足定理结论。若∩(PiB)≠ 1，则由引理4知，∩(PiB)为7-幂零，进而G的合成因子满足定理结论。

证毕。

定理 4设G是群，P是G的一个Sylow7-子群。若存在P的一个子群D满足1＜D≤P，使得P的每一个阶为|D|的子群H在G中是弱M-可补的，则G的合成因子H/K满足下列4种情形之一：

(1)H/K是7阶循环群；(2)H/K是7′-群 ；(3)H/KA7；(4)H/KPSL(2,7)。

证明如果D=P，由定理3可知结论成立。下面考虑1＜D＜P，分以下3种情形：

情形1P有一个真子群H满足|H|=|D|，使得1＜HG＜H。

由引理1(2)及HG的可解性知，G的合成因子满足定理结论。

情形2P有一个真子群H满足|H|=|D|，使得HG=1。

在这种情形下，H在G中是M-可补的，即∃B≤G，使得G=HB，且对 ∀Hi＜ ·H，有HiB＜G。由引理 2可得|G:HiB|=7。令δ={Hi|∀Hi＜·H}。若∃H1∈δ，使得 (H1B)G=1，则由引理3可得G同构嵌入S7，即G的Sylow7-子群的阶为7，得到D=P，矛盾。因此，对∀Hi∈δ，有(HiB)G≠ 1。由引理4得G=(HiB)GNG(Pi)，其 中Pi∈Syl7((HiB)G)。若NG(Pi)＜G，则由引理1(1)知，(HiB)G满足定理结论，又G/(H1B)G同构嵌入S7，所以G的合成因子也满足定理结论。若NG(Pi)=G，则Pi⊴G。如果P是循环的，则1 ≠Pi⊴G(若Pi=1，则P=D)。由引理 6可知，G是7-超可解的，因此G的合成因子满足定理结论。如果P是非循环的，则∃Pj＜·P且Pj≠Pi。若NG(Pj)＜G，与前面类似的证明，得G的合成因子也满足定理结论。若NG(Pj)=G，则Pj⊴G。于是P=PjPi⊴G，从而G/P是7-可解的，进而G也是7-可解的，因此G的合成因子也满足定理结论。

情形3P的每一个阶为|D|的真子群H，均满足HG=H，即H⊲G。

由引理7可知，G是7-超可解的，则G的合成因子也满足定理结论。

证毕。