Schmidt子群为Hall S-拟正规嵌入群的有限群①

郑添尉， 刘建军

西南大学 数学与统计学院，重庆 400715

本文所涉及的群均为有限群．Schmidt子群为所有真子群幂零的非幂零群．关于Schmidt子群的结构及其在有限群理论中的应用见文献[1]．每个非幂零群都包含Schmidt子群，自然地，Schmidt子群具有的性质在有限群的研究中扮演着十分重要的角色．许多学者对其进行了研究，并获得了丰富的结果．文献[2]研究了所有Schmidt子群均为次正规群的有限群的结构．文献[3]对这类群做了更深入的研究．文献[4-5]分别研究了所有Schmidt子群均为Hall子群和Hall正规嵌入子群(如果群G的子群H为HG的Hall子群，则称H为G的Hall正规嵌入子群)的有限群的结构．

文献[6]引入了HallS-拟正规嵌入子群的概念：设H为G的子群，如果H为G中的S-拟正规闭包HsqG的Hall子群， 则称H为G的一个HallS-拟正规嵌入子群． 其中，HsqG指G中包含H的所有S-拟正规子群(与群G的所有Sylow子群可置换)的交． 由于S-拟正规子群的交仍为S-拟正规子群，故HsqG为G的S-拟正规子群．显然HsqG≤HG． HallS-拟正规嵌入子群是比Hall正规嵌入子群更广泛的一个概念[6]．

本文继续研究了Schmidt子群的嵌入性对群结构的影响． 得到了：当G的每个Schmidt子群都为HallS-拟正规嵌入子群时，G的导子群幂零． 本文的结论推广了已有相关文献的结论．

本文所涉及的所有术语和符号都是标准的(见文献[1])．

引理1[2]假定G是有限群， 则下列命题成立：

(i) 如果G没有p-闭的Schmidt子群， 则G是p-幂零群；

(ii) 如果G没有偶数阶2-幂零的Schmidt子群， 则G是2-闭群；

(iii) 如果p-可解群G没有含素因子p的p-幂零的Schmidt子群， 则G是p-闭群．

引理2[6]设H是群G中的HallS-拟正规嵌入子群， 则下列命题成立：

(i) 如果H≤M≤G， 那么H是M中的HallS-拟正规嵌入子群；

(ii) 如果N◁_G， 那么HN/N是G/N中的HallS-拟正规嵌入子群．

根据文献[2]，我们规定，S〈p，q〉指具有正规Sylowp-子群P和非正规Sylowq-子群Q的Schmidt群．

引理3假设K和D是群G的子群， 且D◁_K． 如果K/D为S〈p，q〉-群， 则D在K中有一个满足K=DL的最小阶子群L， 并有：

(i)L是一个p-闭的{p，q}-子群；

(ii)L的所有真正规子群幂零；

(iii)L中包含一个S〈p，q〉-子群P×|Q， 使得D不包含Q， 并且L=(P×|Q)L=QL；

(iv) 如果L中的S〈p，q〉-子群P×|Q是(P×|Q)sqG的Hall子群， 则L=P×|Q．

证(i)-(iii)的证明由文献[2]的引理2给出．下证(iv)成立．

设P×|Q是(P×|Q)sqG的Hall子群， 由引理2得，P×|Q是(P×|Q)sqL的Hall子群．又由

π(L)=π(P×|Q)=2

得

P×|Q=(P×|Q)sqL

因此P×|Q在L中为S-拟正规的，故由文献[7]的引理2可知，P×|Q在L中为次正规的．由此知P×|Q包含在L的一个正规子群中． 但由(ii)知，L的所有真正规子群幂零，这与P×|Q为Schmidt群矛盾．(iv) 得证．

引理4设群G中每个S〈p，q〉-子群是HallS-拟正规嵌入子群，则下列命题成立：

(i) 如果H≤G，那么H中的每个S〈p，q〉-子群在H中是HallS-拟正规嵌入的．

(ii) 如果N◁_G，那么G/N中的每个S〈p，q〉-子群在G/N中是HallS-拟正规嵌入的．

证(i) 假设A是H中的S〈p，q〉-子群． 则由引理4的条件及引理2得，A在H中是HallS-拟正规嵌入的．

(ii) 假设K/N是G/N中的S〈p，q〉-子群，由引理3知，N在K中存在一个极小补子群L，且L为G的Schmidt子群． 由引理4的条件及引理2得，K/N=LN/N在G/N中是HallS-拟正规嵌入的．

引理5[4]如果H是由群G中的所有S〈p，q〉-子群生成， 则G/H中无S〈p，q〉-子群．

引理6[5]令群G为p-可解群．假设G的任一真子群和真同态像的p-长不超过1，而lp(G)>1． 则：

(i)Φ(G)=Op′(G)=1；

(ii)G有唯一极小正规子群N=F(G)=Op(G)=CG(N)；

(iii)lp(G)=2；

(iv)G=N×|S，其中S=Q×|P为一个p-幂零的Schmidt子群，且|P|=p．

引理7[5]令n≥2为一个正整数，r为一个素数，π为一个素数集合．假设对任意的t∈π且对任意的n1，当1≤n1

定理1假设群G中每个Schmidt子群都为G中的HallS-拟正规嵌入子群，则G′幂零．

证为证明定理1，我们按照以下步骤证明：

步骤1G可解．

由奇阶群可解定理知，仅需考虑G为偶数阶群的情况． 如果G不可解，由引理1(ii)可知，在G中存在2-幂零的偶阶Schmidt子群A． 令A=P×|Q，其中P为正规的Sylowp-子群且p>2，Q为非正规的循环2-群．由定理1的条件知，A是G的HallS-拟正规嵌入子群， 因此A为AsqG的Hall子群， 故Q为AsqG的Sylowq-子群．由此知，AsqG有循环的Sylow 2-子群， 则AsqG为2-幂零群．由AsqG在G中为S-拟正规的，可知AsqG在G中为次正规子群， 故AsqG≤D，其中D为群G中最大的正规2-幂零子群． 对任意的g∈G， (AsqG)g在G中为次正规的，且(AsqG)g为2-幂零群， 则(AsqG)g≤D，故

〈(AsqG)g：g∈G〉=(AsqG)G≤D

从而(AsqG)G是G的2-幂零子群．令H为群G中所有(AsqG)G的乘积，其中A为G的任一2-幂零偶数阶Schmidt子群， 故H◁_G，且H为G的2-幂零子群．由引理5得，G/H中不包含2-幂零的偶数阶Schmidt子群，则由引理1知，G/H为2-闭群， 故G/H可解，从而G可解．矛盾．

步骤2lp(G)=1，这里p为π(G)中的任意元．

设G为一个极小阶反例．由引理4知，定理1的条件对子群、商群是遗传的．故对G的任一真子群和真同态像p-长为1．根据G的极小性，lp(G)> 1， 由引理6知

G=N×|SΦ(G)=Op′(G)=1

N=Op(G)=F(G)=CG(N)

其中S=Q×|P为G的极大子群且为G的Schmidt子群． 由已知得，S为SsqG的Hall子群，则仅有S=SsqG或SsqG=G成立．若S=SsqG，则S在G中为次正规的．又由S的极大性得S◁_G．所以SsqG=G．于是S为G的Hall子群，即N≤S．这个矛盾说明： 对任意p∈π(G)，lp(G)=1．

步骤3 完成证明．

事实上，仅需证明G满足G∈NA，其中NA为导群幂零的群类．

假设G为极小阶反例．由文献[8]知，NA为饱和群系．且由G的极小性知Φ(G)=1． 设N1和N2为G的极小正规子群，则G/N1，G/N2∈NA，从而

G≅G/N1∩N2∈NA

矛盾．因此，G有唯一极小正规子群．又由G可解和Φ(G)=1，得N=CG(N)． 此时由文献[9]的定理3.3知G为本原群．由文献[10]的定理1.8得

G=N×|MF(G)=N=CG(N)Op(M)=1

其中p∈π(G)，N为p-群且为G的极小正规子群，M为G的极大子群．由lp(G)=1得，N为G的Sylowp-子群．令

π=π(M)=π(G)-{p}r∈π

设R为G的Sylowr-子群， 故N×|R不为p-幂零群．根据引理1(iii)得，N×|R中存在p-闭的Schmidt子群H=N1×|R1．由定理1的假设知，G中存在H的S-拟正规闭包HsqG且H为HsqG的Hall子群．设HsqG=K．由定义可知，K在G中为S-拟正规的．由文献[11]的定理1.2.14得KG/KG为幂零群， 故K/KG为幂零群，从而N≤K．再由H为K的Hall子群得

(|H|，p)≠1N◁_GN≤K

这表明N为K的Sylowp-子群，故|N|=|H|p， 从而N=N1．此时Φ(N)=1，则

|N/Φ(N)|=|N|=pn

由Schmidt群的结构知，假设对任意的r∈π和任意的n1，当1≤n1

r|pn-1r⫮pn1-1

故由引理7得，GL(n，p)中包含一个循环的Hallπ-子群H， 又由

知，存在x∈GL(n，p)，使得M≤Hx， 这意味着M循环．从而G的导子群包含在一个交换群中，故G为幂零的． 矛盾．

推论1[5]假设群G中每个Schmidt子群都为G中的Hall正规嵌入子群， 则G′幂零．

注1定理1和推论1中的条件并不等价．也就是说， 条件“群G的所有Schmidt子群都是G的HallS-拟正规嵌入子群”并不能推出“群G的所有Schmidt子群都是G的Hall正规嵌入子群”．如：令G为24阶二面体群D24． 显然G中存在非平凡的Schmidt子群H，这意味着H≅S3． 而H是G的S-拟正规子群，故也是G的HallS-拟正规嵌入子群．所以G中所有的Schmidt子群都是G的HallS-拟正规嵌入子群．然而，H不是HG≅D12的Hall子群，也就是说G中所有的Schmidt子群都不是G的Hall正规嵌入子群．