连续广义框架的算子刻画

张伟

（河南财经政法大学数学与信息科学学院，河南郑州450046）

Hilbert空间中的框架概念由DUFFIN等[1]于1952年在研究非调和Fourier级数时首次提出。1986年DAUBECHIES等[2]突破性的研究引起学者对框架的极大兴趣和关注，现已广泛应用于图像处理、神经网络、量化测度等领域。框架的相关研究成果十分丰富[3-9]。

随着对框架研究的不断深入，提出了许多推广形式，特别地，ALI等[10]将框架推广到带有Radon测度的局部空间，引入了连续框架的概念。SUN[11]将框架概念推广到算子形式，引入了广义框架的概念。ABDOLLAHPOUR等[12]提出的连续广义框架概念，较连续框架与广义框架更为一般。

下文第1节，将回顾一些基本概念、记号及性质。第2节，利用连续广义框架预框架算子刻画连续广义Bessel序列、框架、Riesz基以及标准正交基；利用算子工具，构造新的连续广义框架、Parseval连续广义框架、连续广义Riesz基及连续广义标准正交基，并给出相应的算子刻画。第3节,建立连续广义框架预框架算子与连续广义框架的强不相交性、不相交性以及强互补性之间的联系；利用已建立的刻画结果，得到两连续广义框架之和保持框架性质的算子刻画。第4节,给出了结论。

1 预备知识

本节主要给出一些记号、概念及基本性质[4,9,12-13]。U,V,K为复可分Hilbert空间；(Ω,μ)为一个含有正测度μ的测度空间为V的闭子空间列；L(U,Vω)为U到Vω所有有界线性算子的集合；IU为U上的恒等算子。

定义1若满足条件：

(i)对任意的f∈U,ω→Vωf强可测；

(ii)存在常数0＜A≤B＜∞，对任意的f∈U，有

A,B分别为连续广义框架的下界和上界；则称序列为U关于Vω的连续广义框架，若式(1)仅有右半不等式成立，则称为U关于的连续广义 Bessel序列；若A=B，则称为U关于的紧连续广 义框架；若A=B=1，则称为U关于的 Parseval连续广义框架。

在其上定义内积

为连续广义框架算子。在不易混淆的情况下，分别简称为合成算子、分析算子和框架算子。S为线性有界、自伴、正的可逆算子。

定义 2假设和均为U的连续广义框架，

(i)若Range∩Range={0}且Range+Range为的闭子空间，则Λ和Γ不相交。

(ii)若Range⊥Range,则Λ和Γ强不相交。

(iii)若Range∩Range={0},则Λ和Γ弱不相交。

(iv)若Range⊕Range=则 Λ 和Γ强互补。

定义3设T,Q∈L(U,K)，则算子直和T⊕Q∈L(U⊕U,K)定义为

2 连续广义框架与预框架算子

首先给出连续广义Riesz基与标准正交基的概念。

定义4设Λω∈L(U,Vω),ω∈Ω,

(ii)对任意f∈U,ω→Vωf是强可测的是广义完备的；存在2个正常数A,B，对任意可测子集 Ω1⊂ Ω，gω∈Vω,ω∈Ω1，有

(iii)若对任意的f∈U,ω→Vωf是强可测的并且有等式：

则称{Λω}ω∈Ω为U关于{Vω}ω∈Ω的连续广义标准正交基。

注1任意连续广义框架都是广义完备的；任意连续广义标准正交基是Parseval连续广义框架；任意连续广义标准正交基都是界为1的连续广义Riesz基；如果{Λω∈L(U,Vω)}ω∈Ω是广义完备的,等价于

引 理 1[12]设{Λω∈L(U,Vω)}ω∈Ω是U关于{Vω}ω∈Ω的连续广义Bessel序列当且仅当算子

有意义且有界。

定 理 1设 {Θω∈L(U,Vω)}ω∈Ω为U关 于的连续广义标准正交基。是U的连续广义Bessel序列当且仅当存在唯一的有界算子T:U→U满足Λω=ΘωT*, ω∈Ω。

证明必要性。由于为U关于的连续广义标准正交基，对任意的f∈U，有若是U的连续广义Bessel序列，由引理1，则算子

是有意义的且在U上有界。由连续广义标准正交基的定义，对任意的g∈Vω,ω1∈Ω，有

下证唯一性。假设存在T1,T2∈L(U)，满足

则对任意的f∈U，gω∈Vϖ，有

也即

充分性。设Λω=ΘωT*, ω∈Ω，对任意的f∈U，有

定义5定理1中所定义的算子T称为的连续广义预框架算子，在不易混淆的情况下简称预框架算子。

定理 2设为U关于的连续广义标准正交基。为U的连续广义Bessel序列，T和S分别为预框架算子和框架算子。则S=TT*。

证 明由于Λω=ΘωT*,ω∈Ω，对任意的f∈U，有

引理2［13］设T:U→K为有界满射算子，存在有界算子T†:K→U，使得

则称T†为T的伪逆。

定 理 3设为U关 于的连续广义标准正交基为U的连续广义Bessel序列，T为的预框架算子。则

证明(i)必要性。若为U的连续广义框架，则框架算子S是可逆的，注意到S=TT*，所以T是到上的。

充分性。若T是到上的，由定理1可知是U的连续广义Bessel序列，仅需证明存在框架的下界。 由于T是到上的，由引理1，TT†=IU，因此(T†)*T*=IU，对任意的f∈U，有

则可得

由(i)知，T是到上的。下证T为单射。 设f∈kerT，注意到T=TΛ及TΛ是一对一的，则，因此所以有f=0,可知T是可逆的。另一方面，设T是可逆算子，若Λωf=ΘωT*f=0, ω ∈Ω，由于是广义完备的，则有T*f=0。注意到T是可逆的，所以f=0，于是得是广义完备的。

下证不等式(3)成立。对任意可测子集Ω1⊂ Ω，gω∈Vω,ω∈Ω1，有

由于

可知TT*=IU，因此T是酉算子。另一方面，设T是酉算子，对于任意，有

引理 3［14］(i)设T,Q∈L(U)，且Q为到上算子，则TQ是到上算子当且仅当T是到上算子。

(ii)设T,Q∈L(U)，且Q为余等距算子，则TQ是余等距算子当且仅当T是余等距算子。

(iii)设T,Q∈L(U)，且Q为可逆算子，则TQ是可逆算子当且仅当T是可逆算子。

(iv)设T,Q∈L(U)，且Q为酉算子，则TQ是酉算子当且仅当T是酉算子。

借助定理3与引理2，有以下结果，详细证明留给感兴趣的读者。

定 理 4设为U关 于

注2定理4是建立在U关于的连续广义标准正交基条件下，一般情形时，(i)的结论也成立。

定理 5设为U的连续广义框架，则是U的连续广义框架当且仅当T是到上算子。

证明必要性。若为U的连续广义框架，设A1,B1为的框架界，则对任意的f∈U，有

由上式，若T*f=0，则f=0，也即T*是一对一的。若T*fn→g(n→∞ )，则{fn}收敛，也即存在g0∈U满足fn→g0(n→∞ )。因此T*fn→T*g0(n→∞ )，所以g=T*g0，由此可知g∈rangeT*，所以T*有闭值域，因此T有闭值域。注意到

从而可知T是到上算子。

充分性。若T是到上算子，A,B是的框架界，则对任意的f∈U，有

由引理 2，TT†=IU，因此(T†)*T*=IU，对任意的f∈U，有

3 不相交性与预框架算子

本节主要研究连续广义框架的预框架算子与不相交性、强不相交性及强互补性之间的关系，首先给出引理。

引理 4［15］设和分别为U和K关于的连续广义框架。则

(i)Λ和Γ是强不相交的当且仅当存在可逆算子T∈L(U)和Q∈L(K)满足和都是Parseval连续广义框架。

定 理 6设为U关 于的连续广义标准正交基。 若和均为U的 Parseval连续广义框架，T1，T2分别为它们的预框架算子。则和是强不相交的当且仅当T2=0。

证明必要性。若和是强不相交 的 。 由引理4(i)，是U⊕U的Parseval连续广义框架；注意到T1，T2分别为和的预框架算子，可知 Λω= Θω，Γω= Θω，ω∈Ω；再由定理 3知，T1，T2均为余等距算子；于是，对任意的f,g∈U，有

充分性。若T2=0，对任意f,g∈U，有

定理7设为U关 于的连续广义标准正交基。若和均为U的连续广义框架，T1，T2分别为它们的预框架算子。若T2=0，则和是不相交的。

证明注意到T1，T2分别为和的预框架算子，由定理3知，T1，T2均为到上算子。再由引理2知，T1，T2分别存在伪逆算子T†1，T†2，满足T1T†1=IU和T2T†2=IU。由此得到(T†1)*(T1)*=IU和(T†2)*(T2)*=IU。因此，对任意的f∈U，有

所以

类似可得

又因为T2=0，用类似于定理6中充分性的证明过程，可得

因为

又因为

{Λω⊕Γω}ω∈Ω是U⊕U的连续广义框架，由引理 4知，{Λω}ω∈Ω和{Γω}ω∈Ω不相交。

定 理 8设为U关 于的连续广义标准正交基。若和均为U的 Parseval连续广义框架，T1，T2分别为它们的预框架算子。若和是强互补对，则T2=0，1+2=IU。

证明若和是强互补对，由引理 4 知和是 强 不 相交的，并且是U⊕K关于的连续广义标准正交基。再由定理6知，T2=0。因为为U关于的连续广义标准正交基。对任意的有

而

下述定理讨论预框架算子与连续广义框架和之间的关系。

定理 9设和均为U的连续广义框架，T1，T2分别为其预框架算子。若T2=0，则是U的连续广义框架。更多地，若和均为U的 Parseval连续广义框架且T2=0，则为U的界为2的紧连续广义框架。

证明若和均为U的连续广义框架，T1，T2分别为其预框架算子。则对任意的ω∈Ω，有

依据定理3，仅须证明T1+T2是到上算子。由T2=0知，

又因为T1T*1是可逆的，所以对任意h∈U，存在f=T*1(T1T*1)-1h∈U，满足

所以T1+T2是到上算子。

定理10设和均为U的连续广义框架，T1，T2分别为其预框架算子。满足T2T*1=0，M,N∈L(U)，若M,N其中之一是到上的，则{ΛωM*+ ΓωN*}ω∈Ω为U的连续广义框架。

证明若和均为U的连续广义框架，T1，T2分别为其预框架算子，则对任意的ω∈Ω，有

其中，{Θω∈L(U,Vω)}ω∈Ω为U关于{Vω}ω∈Ω的连续广义标准正交基。

因此，MT1+NT2是到上算子。若N是到上的，类似可证。

4 结 论

对于给定连续广义标准正交基的Hilbert空间U，给出了连续广义预框架算子的概念，利用连续广义预框架算子，刻画了连续广义框架、Parseval连续广义框架、连续广义Riesz基及连续广义标准正交基(定理3)；利用算子方法，构造了新的连续广义框架、Parseval连续广义框架、连续广义Riesz基及连续广义标准正交基，并给出了相应的算子刻画(定理4)；分别建立了强不相交性、不相交性以及强互补对与连续广义预框架算子之间的联系(定理6与定理8)；最后，应用已建立的刻画结果，给出了两连续广义框架之和保持框架性质的算子刻画(定理9与定理10)。