分形空间中的广义预不变凸函数与相关的Hermite-Hadamard型积分不等式

孙文兵

（邵阳学院理学院,湖南邵阳422000）

函数凸性在经济数学、管理科学、工程和优化等领域有非常重要的应用。目前，很多学者展开了对函数凸性推广的研究。WEIR等[1-2]提出了预不变凸函数的定义：

定义 1设A⊆Rn，若存在一个向量函数η:Rn×Rn→Rn，对任意x,y∈A,0≤λ≤ 1,有

则称A是不变凸集。

定义2设A⊆Rn是一个关于η:Rn×Rn→Rn的不变凸集。f:A→R是一个函数。若对任意x,y∈A,0≤λ≤ 1，有

则称函数f是预不变凸的。

显然，当式(1)中，取η(x,y)=x-y时，f便是一个凸函数，因此凸函数是一个关于η(x,y)=x-y的预不变凸函数，而预不变凸函数是凸函数的一种推广。关于预不变凸函数的性质，可参阅文献[3-4]。

Hermite-Hadamard不等式的推广研究是与函数凸性紧密相关的，该不等式叙述如下:

令f:I⊆R→R是一个凸函数，其中a,b∈I，a＜b，则

如果f是凹的,则不等式反号。根据不同的凸性定义，涌现了许多Hermite-Hadamard不等式的新研究结果[5-8]。自提出预不变凸函数定义以来，相继出现了Hermite-Hadamard不等式与预不变凸函数相关的研究[9-12]。NOOR[9]证明了关于预不变凸函数的Hermite-Hadamard不等式。

定理1令f:K=[a,a+η(b,a)]→(0,∞)是区间K∘上的一个预不变凸函数(K∘是K的内部)，a,b∈K∘且a＜a+η(b,a)。则有

注1若η(x,y)=x-y,不等式(3)变成了不等式(2),即不等式(3)是经典的Hermite-Hadamard不等式的推广。

BARANI等[10]推广了函数导数绝对值是预不变凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式，得到:

定理 2设A⊆R是一个关于θ:A×A→R的开的不变凸集，f:A→R是一个可微函数。如果|f′|在A上是预不变凸的，那么对每一个a,b∈A且θ(b,a)≠ 0，有

定理3设A⊆R是一个关于θ:A×A→R的开的不变凸集，f:A→R是一个可微函数。假设p∈R且p＞ 1，如果|f′|p/(p-1)在A上是预不变凸的，那么对每一个a,b∈A且θ(b,a)≠0，有

近年来，分形理论广受关注，因为许多微积分方程描述的物理现象往往涉及一些连续不可微函数，而经典微积分并不能处理这类函数，此类函数被称为分形曲线。于是，越来越多的研究者将所研究的问题推广到分形空间。YANG等[13-14]系统阐述了一种分形集理论并定义了该空间中的分形微积分，称为局部分数阶微积分。MO等[15-16]根据这一理论将函数经典凸性和S-凸函性推广到分形空间并证明了分形空间中的广义Hermite-Hadamard不等式。

定义 3[15]设f:I⊆R→Rα，对任意x1,x2∈I且λ∈[0,1],若有

则称f为定义在I上的广义凸函数(不等号反向，则称f为广义凹函数)。

定理 4[15]令f(x)∈I(α)x[a,b]为区间[a,b]上的一个广义凸函数，a＜b，则

文献[17]提出了分形空间Rα(0＜α≤1)中的广义调和凸函数的定义，并证明了相关的Hermite-Hadamard型不等式。关于分形空间中积分不等式的一些新研究结果可参阅文献[18-22]等。

在YANG提出的分形集理论以及局部分数阶微积分理论基础上，本文提出了分形空间上广义预不变凸函数的定义，并建立了与广义预不变凸函数相关的Hermite-Hadamard型积分不等式。文中所得推广了文献[9-10]中的一些结果。

1 预备知识

根据YANG的分形集理论，令Rα(0＜α≤1)为分形实线的α型集合，是一个维数为α维的分形集，其运算律规定义如下[13]:

若aα,bα,cα∈Rα，则

(a)aα+bα∈Rα，aαbα∈Rα，

(b)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α，

(c)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα，

(d)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α，

(e)aα(bαcα)=(aαbα)cα，

(f)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα，

(g)aα+0α=0α+aα=aα且aα1α=1αaα=aα，

(h)|aα|-|bα|≤ |aα+bα|≤ |aα|+|bα|，

(I)(a-b)α=aα-bα。

引理1[13]

局部分数阶导数和局部分数阶积分的定义可参阅文献[13]，文献[15-22]中也有介绍，此处只介绍下文将要用到的几个记号:

(1)f(x)在区间[a,b]上局部分数阶连续，记为f(x)∈Cα[a,b]；

(2)f(x)在区间[a,b]上α阶局部分数阶可导，记为f(x)∈Dα[a,b]；

(3)对f(x)在区间[a,b]上α阶局部分数阶积分 ，记 为aI(α)bf(x)。 若 对 任 意x∈[a,b]，有aI(α)xf(x)存在，则记为f(x)∈I(α)x[a,b]。

引理2[13]

（1） 若f(x)=g(α)(x)∈Cα[a，b]，则

（2） 若f(x)，g(x)∈Dα[a，b]，且f(α)(x),g(α)(x)∈Cα[a，b]，则

引理3[13]

引理4[13](广义Hölder不等式)令，则

2 主要结果

下面给出分形空间Rα(0＜α≤1)中广义预不变凸函数的定义。

定义4设A⊆Rn是一个关于η:Rn×Rn→Rn的不变凸集。f:A→Rα是一个函数。若对任意x,y∈A,0≤λ≤ 1，有

则称函数f是关于η的广义预不变凸函数。函数f是广义预不变凹函数当且仅当-f是广义预不变凸函数。

注 2在式(8)中，当η(x,y)=x-y时，f便是一个广义凸函数(定义3)，因此广义凸函数是一个关于η(x,y)=x-y的广义预不变凸函数，而广义预不变凸函数就是广义凸函数的推广。

下面关于双重函数η(·,·)的讨论中，需要给出以下假设[4]:

条件C令I⊂R是一个不变凸集，对任意的x,y∈I,t∈[0,1]，双重函数η(·, ·)满足

注 3对每个x,y∈I,t1,t2∈[0,1]，由条件C，有η(y+t2η(x,y),y+t1η(x,y))=(t2-t1)η(x,y)。

定理5(广义预不变凸函数的Hermite-Hadamard不等式)令f:K=[a,a+η(b,a)]→Rα(α∈(0,1])，是区间K∘上的一个广义预不变凸函数(K∘是K的内部)且a,b∈K∘，a＜a+η(b,a)。若f(x)∈I(α)x[a,a+η(b,a)]，双 重 函 数η(·, ·)满 足条件C，则

证明由f:K=[a,a+η(b,a)]→Rα是区间K∘上的一个广义预不变凸函数，在不等式(8)中，取λ=则对所有的x,y∈K∘，有

令x=a+tη(b,a),y=a+(1-t)η(b,a), 并代入上式，可得

由条件C的注3，有

于是由上式可得

上式两边对t在[0,1]上局部分数阶积分，可得

由引理3和引理1，有

另一方面，

由于f是一个广义预不变凸函数，令x=a+tη(b,a),t∈[0,1]，由式(11),有

由式(10)和(12),可知定理成立。证毕。

注4 定理 5中，取α=1，则由不等式 (9)可得不等式(3)。

推论 1定理 5中，取η(b,a)=b-a且a＜b，有以下类似于定理4的局部分数阶积分不等式：

注5推论1中，取α=1，则由不等式 (13)也可得到经典的Hermite-Hadamard不等式(2)。

引理 5令I⊆R是关于η:I×I→R的一个开的不变凸集，a,b∈I,η(b,a)≠ 0。如果f:I→Rα(α∈(0,1])使 得f∈Dα(I)且f(α)(x)在η- 路 径Pav,v=a+η(b,a)上局部分数阶可积，则

其中，η-路径Pav:={z|z=a+tη(b,a),t∈[0,1]}是连接a与v=a+η(b,a)之间的路径[10]。

证明设a,b∈I，因为I是关于η的不变凸集，对每一个t∈[0,1]，有a+tη(b,a)∈I。由局部分数阶分部积分,可得

其中用到换元x=a+tη(b,a)。证毕。

定理 6令I⊆R是关于η:I×I→R的一个开 的 不 变 凸 集。如果f:I→Rα(α∈(0,1])使得f∈Dα(I) 且f(α)∈Cα[a,a+η(b,a)]， 其中a,b∈I,a＜a+η(b,a)；|f(α)| 在区间 [a,a+η(b,a)]上是广义预不变凸函数。则对所有的x∈[a,a+η(b,a)]，有

证明设a,b∈I，因为I是关于η的不变凸集，对每一个t∈[0,1]，有a+tη(b,a)∈I。式(14)两边取模，由 |f(α)|在区间[a,a+η(b,a)]上是广义预不变凸函数，则有

由分形集中元素运算律(I)以及引理3，有

同理可得

将式(18)、(19)代入式(17)，可得式 (16)，定理得证。

注 6定理6中，取α=1，则由不等式(16)可得到定理2中的不等式(4)。

推论2定理6中 ，取η(b,a)=b-a且a＜b，则有

定理 7令I⊆R是关于η:I×I→R的一个开的不变凸集 。 如果f:I→Rα(α∈(0,1])使 得f∈Dα(I)且f(α)∈Cα[a,a+η(b,a)]，其中a，b∈I在区间[a,a+η(b,a)]上是广义预不变凸函数，其中p＞1。则对所有的x∈[a,a+η(b,a)]，有

证明设a,b∈I，等式(14)两边取模，由广义Hölder不等式，有

由引理3，计算可得

将式 (23)、(24)代入式(22)，可得不等式(21)，定理得证。

注7定理7中，取α=1，则由不等式 (21)可得定理3中的不等式(5)。

推论3定理7中，取η(b,a)=b-a且a＜b，则有

定理 8令I⊆R是关于η:I×I→R的一个开的不变凸集。如果f:I→Rα(α∈(0,1])使得f∈Dα(I)且f(α)∈Cα[a,a+η(b,a)]， 其中a,b∈I,a＜a+η(b,a)；|f(α)|q在区间[a,a+η(b,a)]上是广义预不变凸函数，其中q≥1。则对所有的x∈[a,a+η(b,a)]，有

证明设a,b∈I，式(14)两边取模,由广义幂均不等式[23]以及 |f(α)|q在区间 [a,a+η(b,a)]上是广义预不变凸函数,可得

由引理3，经计算可得

将式(18)、(19)、(28)代入式(27)，可得不等式(26)，定理得证。

注 8定理8中，取q=1，则由不等式(26)可得到定理6中的不等式(16)，因此定理8又是定理6的推广。

推论4定理 8中，取η(b,a)=b-a且a＜b，则有

推论5定理 8中，取α=1，则由不等式(26)，有

注 9推论5中，取q=1，则由不等式(30)可得到定理2中的不等式(4)。