一道联考题研究

虞懿

[摘   要]对2018年一道联考题的立意、解法、题源、拓展和教学启示等方面做探析、研究，以给教师教学提供参考.

[关键词]联考题;立意;解法;拓展;研究

[中图分類号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）23-0003-02

数学家奥加涅相说：“必须重视，很多习题潜藏着进一步扩展其数学功能与教育功能的可行性.”笔者通过对一道联考题的探究，让大家看到这道联考题真正的思考价值.同时，也让大家感受数学探究的乐趣.

一、试题展现

题目：设直线[2x+y-3=0]与抛物线[Γ：y2=8x]交于[A，B]两点，过[A，B]的圆与抛物线[Γ]交于另外两点[C，D]，则直线[CD]的斜率[k=]                  .

立意：此题题面简洁、意境幽深、内涵丰富，可以从多个角度思考求解.本题主要考查抛物线的定义、直线和抛物线的位置关系、四点共圆等知识，旨在考查学生逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.

二、解法集萃

分析：由提干信息“过[A，B]两点的圆与抛物线[Γ]交于另外两点[C，D]”可知，过这两点的圆的圆心轨迹是线段[AB]的垂直平分线，进而可知此圆不唯一，于是直线[CD]就是动直线，再结合选项特征可知，答案应确定的，即直线[CD]的斜率[k]为定值，于是解决问题的办法就有了.

解法1：如图1所示，作点[A，B]关于[x]轴的对称点[A1，B1]，由对称性可知[A，A1，B，B1]四点共圆，所以点[A1，B1]即为[D，C]，所以[k=-kAB=2].

评析：“小题巧做”是考试中的常用策略.但考后学生很有必要对问题进行深入思考，小题大做，看看有没有一般方法.本题的突破口在于如何刻画四点共圆.如果采取坐标来刻画的确很繁杂，利用几何图形性质是简化解析问题的重要途径之一，寻求平面几何性质来帮助.

解法2：设直线[AB]与直线[CD]交于[P（x0，y0）]，直线[CD]的倾斜角为[α]，则

直线[CD]的参数方程为[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，]（[t]为参数），代入[y2=8x]中得[sin2α?t2+（2y0sinα-8cosα）?t+y02-8x0=0]，

所以[PC?PD=t1?t2=y02-8x0sin2α].若设直线[AB]的倾斜角为[β].同理得[PA?PB=y02-8x0sin2β].因为[A，B，C，D]四点共圆，所以[PA?PB=PC?PD]，即[y02-8x0sin2β=y02-8x0sin2α]，所以[sinβ=sinα].由题意可知[α≠β]，所以[β=π-α]，故[kCD=tanα=-tanβ=-kAB=2].

评析：此解法利用相交弦定理将四点共圆做了等价转化，同时又借助直线参数方程中参数的几何意义沟通了倾斜角间的隐性关系继而获解.

解法3：设[lCD：y=kx+m]，利用曲线系方程[y2-8x+λ（2x+y-3）（kx-y+m）=0]，即[（1-λ）y2+2kλx2+λ（k-2）xy+（2λm-3kλ+8）x+λ（m+3）y-3mλ=0]，若其表示一个圆，则有[1-λ=2kλ≠0，λ（k-2）=0，]解得[k=2，λ=15.]

评析：该解法简洁明快，知识综合运用恰到好处.

三、追本溯源

题源1：（人教[A]版选修4-4“坐标系与参数方程”第38页例4）如图2所示，[AB，CD]是中心点为[O]的椭圆的两条相交弦，交点为[P].两弦[AB，CD]与椭圆长轴的夹角分别为[∠1，∠2]，且[∠1=∠2].求证：[PA?PB=PC?PD].

本题不仅是一道运用直线参数方程解决线段等积问题的例题，同时本题的解法具有一般性，结论还可做进一步探究和类比推广.

题源2：（2011年高考大纲卷理科第21题）如图3所示，已知[O]为坐标原点，[F]为椭圆[C：x2+y22=1]在[y]轴正半轴上的焦点，过[F]且斜率为[-2]的直线[l]与[C]交于[A]、[B]两点，点[P]满足[OA+OB+OP=0.]

（Ⅰ）证明：点[P]在C上;

（Ⅱ）设点[P]关于点[O]的对称点为[Q]，证明：[A]、[P]、[B]、[Q]四点在同一圆上.

从上述联考题来看，尽管对学生来说要求较高，但是其根源于教材，而又高于教材，对高考备考有很强的引领性.对学生来说，应当回归课本，切实把握好课本中例题和习题的典范作用;对教师来说，在高考备考教学中的启示就是进入二轮专题备考阶段应当切实做好对教材中例题和习题的变式探究，依纲务本，做到“源于教材，高于教材”，为考题寻得源头活水来，就可切实做到抓住问题之源，顺利解决问题之流（衍生出的问题），对提质增效、活化思维起到事半功倍的作用.

四、引申拓展

解题是一种创造性活动，数学学习中，积累一定的解题经验对解题过程中快速提取信息是帮助很大的，而引申拓展则是解题经验自觉积累的有效途径.

性质1 记抛物线：[y2=2px][（p>0）]上的两相交弦[AB，CD]的倾斜角分别为[α，β]，则[A]、[B]、[C]、[D]四点共圆的充分必要条件为[α+β=π].

证明可以仿照解法2处理，这里不再赘述.事实上椭圆、双曲线也有类似性质.

性质2 记椭圆：[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]上的两相交弦[AB，CD]的傾斜角分别为[α，β]，则[A]、[B]、[C]、[D]四点共圆的充分必要条件为[α+β=π].

证明：设直线[AB]与直线[CD]交于[P（x0，y0）]，则直线[AB]的参数方程为[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，]（[t]为参数），将其代入椭圆方程[x2a2+y2b2=1]中，得[（b2cos2α+a2sin2α）t2][+2（b2x0cosα+a2y0sinα）t+（b2x02+a2y02-a2b2）=0]，由于[b2cos2α+a2sin2α≠0]，且直线[AB]与椭圆有两个交点，因此方程有两个根，设为[t1，t2]，则有[PA?PB=t1?t2=t1?t2=b2x02+a2y02-a2b2b2cos2α+a2sin2α].同理可得[PC?PD=b2x02+a2y02-a2b2b2cos2β+a2sin2β].故[A]、[B]、[C]、[D]四点共圆[?PA?PB=PC?PD?][b2x02+a2y02-a2b2b2cos2α+a2sin2α=b2x02+a2y02-a2b2b2cos2β+a2sin2β?][b2（cos2α-cos2β）=a2（sin2β-sin2α）?（a2-b2）（sin2β-sin2α）=0?sinα=sin β]且[α≠β]，[α][β∈（0，π）][?][α+β=π].

性质3 记双曲线： [x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]上的两相交弦[AB，CD]的倾斜角分别为[α，β]，则[A]、[B]、[C]、[D]四点共圆的充分必要条件为[α+β=π].（证明仿上）

五、教学启示

一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路.在教学中，用多种方法解答同一道数学题，不仅能牢固地掌握和运用所学知识，还能帮助不同程度的学生运用自己的方法去解题.通过一题多解，分析比较，寻找到解题的最佳途径和方法，这对提高学生数学学习兴趣和积极培养学生的创造性思维能力大有益处.在教学中，教师如能回归基础，深度解读教材，在典型问题的引领下，激活学生横向思维，以学生发展为本，促进动态生成，就一定能提高高三数学教学的效率.这也是当前落实数学核心素养的基本要求.

（责任编辑 黄桂坚）