构造椭圆求解三角形问题

程雷虎

[摘   要]构造椭圆，结合极坐标系的知识，可以迅速解决比较复杂的三角形问题，尤其是范围和面积问题.

[关键词]构造;椭圆;三角形;问题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）23-0007-02

构造椭圆来解决三角形问题，主要是构造椭圆来证明三角形问题.笔者以2019年某地高三模考三角形问题为例，就构造椭圆模型求解三角形问题做一些探讨.

一、试题呈现与欣赏

试题1：在锐角[△ABC]中，[BC=2 ，sinB+sinC=2sinA]，则中线[AD]长的取值范围是___________.

本题是合肥市2019届高三第一次教学质量检测题.这道题在解三角形和不等式等知识的交汇处命制，既考查了正弦定理、余弦定理、不等式求解、基本不等式、平面向量等基础知识及解三角形、求函数最值等基本方法，又考查了数形结合、化归转化等数学基本思想.同时考查了学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，突出了能力立意，彰显了数学思想方法.此题看起来背景熟悉、平淡无奇，实际上却内涵丰富，平中见奇.

对此题求解，绝大多数学生用常规解法.

常规解法：设[△ABC]中[∠A，∠B，∠C]所对的边分别为[a，b，c].依题意知[a=2]，因为[sinB+sinC=2sinA]，由正弦定理得[b+c=2a=4].

因为[△ABC]是锐角三角形，所以[0

由余弦定理得[0

同理， [0

[0

综上可得，[32

在[△ADB]和[△ADC]中分别由余弦定理得

[cos∠ADB=AD2+1-（4-b）22AD]，[cos∠ADC=AD2+1-b22AD].

又因为[cos∠ADB+cos∠ADC=0]，

所以  [AD=b2-4b+7=（b-2）2+3]，再由[32       

点评：上述求解过程运算量较大，对不等式求解知识要求扎实.此解法运用正余弦定理将角的关系转化为边的关系，用余弦定理处理三角形为锐角三角形的条件，求解不等式，得到边的范围，最终求得中线的取值范围.

构造椭圆求解：同常规解法有[b+c=4>a].以[BC]的中点为原点，[BC]所在直线为[x]轴，建立平面直角坐标系，易知点[A]在椭圆[x24+y23=1]上运动.因为对称性，只研究点[A]在椭圆上半部分的情形.

考虑到三角形为锐角三角形，由椭圆性质知 ， 当点[A]在椭圆上顶点时，[∠A]最大.此时[∠A=60°]，得[AD=3]，此时[AD]最小.当[AC⊥BC]时，点[A]的坐标为[1，32]，此时[AD=132]，所以由题意知  [AD∈3，132] .

点评：此解法运用解析法求出点[A]的轨迹，数形结合获得简解.在问题研究的过程中，运用了椭圆焦点三角形的面积公式的变形，即[S=b2?tan∠F1AF22=c?yA]，当面积最大时，[yA]最大，此时点[A]恰好落在椭圆的上顶点处，此时[∠A]也最大.虽然此种解法以前都见过，但是，教师在平时教学，学生在解题时，运用常规解法较多.

试题2：如图1，[l1]是经过城市[O]与城郊小镇[A]的东西方向公路，城市[O]与小镇[A]相距[83 km].[l2]是经过城市[O]的南北方向的公路，现准备在城市[O]的西北区域内选址[P]，建造开发区管委会，并开发三角形区域[PAO]与[PBO].其中，[AB]为计划修建的经过小镇[A]和管委会[P]的绕城公路（[B]在[l2]上，且位于城市[O]的正北方向），[PO]为计划修建的管委会[P]到城市[O]的公路，要求公路[PO]与公路[PA]的总长为16 [km]（即[PO+PA=16]）.设[∠BAO=θ].

（1）记[PA=f（θ）]，求[f（θ）]的函数解析式，并确定[θ]的取值范圍;

（2）当开发的三角形区域[PAO]的面积最大时，求绕城公路[AB]的长.

本题是2019年南师附中、淮阴中学、天一中学、海门中学等四校联考试题.该题是一道三角函数实际应用题，既考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、函数最值等基本知识，又考查了学生将实际问题数学化的思想方法.下面，笔者介绍本题的构造椭圆求解方法.

此题的求解要用到极坐标方法，为了求解的方便，先介绍如下结论.

【结论】已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦点分别为[F1，F2].

（1）若以左焦点[F1]为极点，射线[F1∞]为极轴建立极坐标系，则椭圆[C]的极坐标方程是：[ρ=eP1-ecosθ]，其中[P]是左焦点到左准线的距离，[e]为离心率.

（2）若以右焦点[F2]为极点，射线[F2∞]为极轴建立极坐标系，则椭圆[C]的极坐标方程是： [ρ=eP1+ecosθ]，其中[P]是右焦点到右准线的距离，[e]为离心率.

下面构造椭圆，对于该题进行求解.

解：（1）由题意知：[AO=83]，[PA+PO=16]为常数，且[PA+PO>AO].

再结合实际情形，所以[P]点在一个椭圆的上半部分上运动.

以[OA]的中点为原点，射线[AO]为[x]轴建立平面直角坐标系，得到点[P]的坐标满足椭圆[x264+y216=1]，其中[A]、[O]分别为椭圆的左、右焦点.

以点[A]为极点，射线[AO]为极轴建立极坐标系，点[P]的坐标设为[（ρ，θ）]，由题意知，[PA=ρ].由上结论知：[ρ=eP1-ecosθ]，又因为[e=32，P=-43--6443=433]，所以 [ρ=42-3cosθ].

再考虑临界情形，当点[P]在[l2]上，即[∠POA=90°]时，由椭圆方程知，此时点[P]的坐标为[（43，2）]，得[cosθ=8314=437].

结合实际情况，点[P]位于城市[O]的西北区域内，故有公路[PA]段长关于[θ]的函数解析式为[PA=42-3cosθ]，[θ]的取值范围为[α，π2]，其中，[0<α<π2]，且[cosα=437].

（2）因为点[P]在椭圆的上半部分运动，由椭圆性质知，当点[P]位于短轴顶点时，[△PAO]的面积最大，此时[PA=PO=8]，且[P]是[AB]的中点，故得绕城公路[AB]的长为[16  km].

点评：极坐标在高考中几乎年年考查，尤其是[ρ，θ]这两个量的几何意义，明显指向求长度、求夹角问题.该题的构造椭圆解法，利用了极坐标法，尤其是第（2）问避免了繁杂的不等式求解和函数求最值问题，有事半功倍的作用.

二、高考题链接

在历年的高考题中，解三角形问题都是热点，而在此问题的解答中，绝大多数教师和学生都是从正余弦定理入手，結合不等式知识.实际上，构造椭圆法，对于一类解三角形问题，尤其是面积和取值范围问题，可以做到“秒杀”.

下面笔者列举几道历年的高考真题，供读者参考.

高考题1：（2017年理数新课标全国Ⅱ卷）[△ABC]的内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，已知[sin（A+C）=8sin2B2].

（1）求[cosB;]

（2）若[a+c=6]，[△ABC]的面积为2，求[b].

高考题2：（2013年文数浙江卷）在锐角[△ABC]中，内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，且[2asinB=3b].

（1）求角[A]的大小;

（2）若[a=6，b+c=8]，求[△ABC]的面积.

高考题3：（2013年理数江西卷）在[△ABC]中，内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，已知[cosC+（cosA-3sinA）cosB=0].

（1）求角[B]的大小;

（2）若[a+c=1]，求b的取值范围.

在解题思维结构中，要求教师和学生在平时的教与学中善于挖掘教材中有应用价值的定义、定理、公式、习题等的潜在功能.在高三解题教学中，需要建立广泛的纵横联系，在注重通性、通法，掌握常规的基础上，要不拘泥于常规，实现创新.在解题的过程中，需要一些非常规的想法，这不仅能使解题效果有事半功倍之效，别具一格，而且对学生创造性思维的培养也具有重要的意义.

[  参   考   文   献  ]

[1]  张善敏.构造椭圆模型求解三角问题[J].中学生数理化（高二版），2007（6）：30-31.

[2]  张国治，钱进兵.巧构圆、椭圆妙解高考题[J].数学教学，2014（5）：38-39.

[3]  支金山.构造椭圆：巧解三角问题的一条有效途径[J].中学数学杂志，2007（1）：24-27.

（责任编辑 黄桂坚）