几何模型教学研究

张军

[摘   要]在几何教学中建立几何模型，类比迁移知识，能培养学生在复杂的问题中提炼出几何模型，解决问题的数学意识，能培养学生的数学核心素养.

[关键词]几何模型;核心素养; 圆;相似

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）23-0011-02

新課程的改革和教育要求的改变，要求教师在教学时不仅要教授学生数学知识，还要注重学生数学核心素养的培养.在初中的几何教学中，建立几何模型，可以把复杂的几何问题变得简明、形象，有助于学生探索问题的思路，培养学生的推理能力.

在平时几何教学中，我们要有意识地帮助学生归纳、总结出一些平面基本图形，提高学生的几何直观能力.本文以我市一堂初三复习课《圆中的相似》教学为例，谈谈在几何教学中对学生数学核心素养培养的几点启示.

一、探究模型，培养模型意识

根据学生思维的“最近发展区”原理构建基本图形框架，从最简单的问题入手，帮助学生掌握基本的结论和方法，构建几何模型.探究的问题不是学生所学知识的简单重复，而是将学生已有知识建立联系，形成体系，让学生看到基本图像，想到基本结论.

建立模型：如图1，在⊙O中，弦[AB]，[CD]相交于点[P]，连接AC，CB，BD，DA，图中的相似三角形有哪些？

生1：[△APC∽△DPB]，[△ADP∽△CBP]（说理略）.

师：这里的圆形给我们提供了什么条件？

生2：根据“同圆中同一条弧所对的圆周角相等”提供了相等的角.

师：“[△APC∽△DPB]”是哪一种基本相似模型？写出对应线段的比例式.

生3：是我们前面学过的相似里的“斜[Χ]”型，比例式为[APDP=PCPB=ACBD].

（教师表扬该生的读图能力，并且板书基本图形1.）

师：若点[A]为弧[CD]的中点时，与[△ADP]相似的三角形除了[△CBP]外还有吗？

生4：[△ADP∽△ABD]（说理略）.

师：这里圆也提供了“等弧对等角”的条件，你能找出这是哪种相似模型吗？

生4：斜母子型.

（教师板书基本图形2）

师：若延长[DA，BC]交圆外一点[E]，如图2（图略）.与[△EAC]相似的三角形是               .

生5：[△EAC∽△EBD].这是“斜A”型相似.

师：太棒了！思维很严谨.我们来总结一下圆中的这些相似几何模型.

（教师板书：基本模型——相似三角形——对应比例式）

评析：“授人以鱼，不如授人以渔”，引导学生通过基本图形的归纳与总结，理解圆作为问题背景的作用，抓住问题的本质，将圆的知识与三角形相似进行有机的结合，从而理解几何模型的结构;让学生经历几何模型的形成过程，重视培养学生思考和分析问题的能力，注重培养学生的模型意识，使学生能利用几何模型把复杂的问题简单化，发展学生的数学核心素养.

二、立足模型，培养推理能力

圆中的问题种类繁多，对学生的逻辑推理能力要求较高.教师设计的问题要能促进学生推理能力的发展.从几何模型的本质属性入手，在直角三角形和三角函数等知识点处设计问题，在类比、分析等合情推理的基础上感悟几何模型的内涵，培养学生的推理能力.

应用模型：在⊙O中，弦[AB]，[CD]相交于点[P]，[BD]是⊙O的直径，已知[AC=1，BD=3]，求[cos∠BPC]的值.

生1：连接[BC].（解答略）

生2：也可以连接[AD]，[∠BPC=∠APD]，我发现只要利用直径构造直角三角形，表示出三角函数就都可以求.

师：我们再来看“斜A”型的应用.在⊙O中弦[DA，BC]的延长线交于圆外一点[E]，[BD]是⊙O的直径，若点[C]是[BE]的中点，[S△EACS△EBD=425]，求[cosE].

生3：根据基本图形3的模型解答.（略）

评析：引导学生联想几何模型，直接利用斜[Χ]模型、“斜A”型等相似基本图形将三角函数问题转化为相似三角形问题，在学生的脑海中形成“求三角函数值——直角三角形——线段的比值——相似三角形的相似比”这条思维线.通过教师有意识地引导，培养学生的问题意识，提高学生的逻辑推理能力.

数学教学应以数学知识为载体，以数学思想方法为核心，以提高学生数学能力和素质为目的，着眼于学生数学核心素养的养成.培养学生的推理能力不能急于求成，可通过几何模型的教学，让学生在脑海中形成各种基础的直观图形，再在复杂的图像中找出这些基本图形，加强分析训练，逐步实现推理能力的提高.

三、感悟模型，提高解题能力

数学解题是一种创造性的活动，几何推理题型更是灵活多样，我们无法教会学生做所有的题目，但可以通过有限的几何模型去引导学生感悟无数道题目的本质.圆中的问题虽千变万化，但只要我们抓住问题的本质，在“变化”的题目背景下探究出“不变”的几何模型，问题也就迎刃而解.

感悟模型：（2016年苏州中考第26题改编）在⊙O中弦[DA，BC]的延长线交于圆外一点[E]，[BD]是⊙O的直径，若点[C]是[BE]的中点，若[AC=4，cosE=25]，取弧[BD]的中点[F]，连接[FD，FC]，设直线[FC]交直线[BD]于点[G]，求[FG?FC]的值.

生1：由上面引入的问题可知[BD=10]，[F]是弧[BD]的中点，可算出[DF=52]，再利用“斜母子型”相似，[△FDC∽△FGD]，[FD2=FC?FG=50].

生2：也可以证明[△FBC∽△FGB]，[∠FBG=∠FCB=135°].

生3：点[F]可以是弧[BD]下面的中点吗？

师：这是个好问题，你能画出图形，解决一下吗？

生4：（補充另一种情况）我取的点[F]是弧[BD]下面的中点，如图6（图略），同理[△FDC∽△FGD]，[FD2=FC?FG=50].

生5：我发现这种情况下连接[BF]也可以解答.

评析：随着探究的深入，围绕相似几何模型进行类比分析，可逐渐掌握解决圆中问题的策略，形成基本的数学经验，完善思维结构.引导学生大胆尝试、探究，在探究图形变化规律的体验中，化陌生为熟悉，化复杂为简单，深入对几何模型的认识.经过对问题的“再思考”，反思如何在复杂的图形中提炼出基本图形，引导学生发现题中的“变”与“不变”，进而理解蕴含在几何图形中的数学本质，达到举一反三、触类旁通的作用.问题的设计有梯度，层次感强，体现了根据学生的认知基础、认知心理及认知障碍来设计教学环节的特点.

四、亮点展现，教学感悟

1.问题引入，经历构建几何模型的过程，模型再认识

虽然学生之前分别学习过相似三角形和圆，但学生对它们的认识基本上停留在“碎片化”的“就题论题”的浅表层次，缺乏对两者之间相互联系的深入研究.由圆中常见的相交弦的问题引入，在问题不断演变的过程中，帮助学生建立相似三角形知识与圆中知识的联系，理解圆作为题目的背景只提供了“相等的角”这一条件，抓住问题的本质，将圆中的“曲线形”问题转化为相似三角形的“直线形”问题来解决.在几何模型的再认识过程中，提出新的探究问题，实现了新旧知识相互渗透联系，同时也增强了学生分析与思考问题的能力，优化了学生的认知结构，提高了学生的思维素质.

2.添加条件，应用几何模型解决问题，模型再运用

依据几何模型的背景添加特殊条件，创设一个不变的学生较易解决的问题，获得一个解决问题的方法，再创设一个新的问题，变化的问题置身于不变的模型之中，通过类比迁移方法思路，抓住基本图形来解决，深刻领悟本质特征，揭示规律，摆脱题海战，引导学生学会以“几何模型之不变”来应“题型之万变”.通过对简单的模型的再运用，体验圆中涉及的相似三角形这一几何模型再认识、再创新、再完善和提高的过程，为模型的再发展做好铺垫，让学生体验数学学习的成就感.

3.开启智慧，构造几何模型，模型再创造

以中考试题为背景进行改编，设计巧妙，拓宽了学生的视野，给学生的思维创设了更广阔的空间.仔细分析中考试题，发现解决问题的关键在于动手找到弧[BD]上的两个[F]点，构造“斜母子型”相似来解决问题，着眼于问题的数学原理、结构，利用“斜母子型”相似将问题转化为探求“[FD2=FC?FG]”关系，从陌生到熟悉、从无到有、从未知到已知的信息转化，领悟其中的模型思想，使其逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识.经过学生自己的动手作图、探究问题的求解过程也是学生对相似模型再创造的过程，需要学生具有创新思维和开拓精神，同时也正是通过这种学习过程来培养学生的开拓、创新意识，提高学生的数学核心素养.

新课标将数学模型思想正式列为课程内容的核心概念，也是数学核心素养之一.在几何教学中教师要善于挖掘出几何图形的本质规律，注重引导学生体验一个几何模型的形成过程，通过“变式教学”挖掘几何图形的功能，提升学生数学模型的综合运用能力，帮助学生认识问题的本质.通过几何模型来促进学生对几何问题的“深度理解”，从复杂的问题中找到几何基本图形，达到做一题、通一类的效果.弗赖登塔尔认为，数学知识不是教师教出来的，而是研究出来的.而在这种研究中，数学模型意识的养成是数学核心素养提升的一大特征.

[  参   考   文   献  ]

[1]  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]  郭敏. 再认识、再构建、再运用：基于数学建模核心素养的立体几何复习教学[J]. 中学数学，2017（13）：16-18.

[3]  水菊芳.基于数学核心素养的课堂数学意识的构建[J]. 数学通报，2016（11）：6-9.

（责任编辑 黄桂坚）