例谈数列不等式证明中使用缩放法的策略

陈后万

(浙江省温州市洞头区第一中学 325700)

放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近年高考中重点考查.其难度主要是由于放缩方法灵活多变，技巧性要求较高.本文以典型数列为背景，抓住数列特点，恰当采取方法，突出放缩本质，来阐述对数列不等式证明使用放缩方法的策略、原则.

一、精准把握缩放尺度 做到恰到好处

评注本题通项为分式结构类型，常见处理方式是由通项先缩放再求和，但要注意方式和细节.若采用以下方式，则行不通：

(1)求数列{an}，{bn}中的通项公式；

解(1)解略.

(2)由(1)可得，

评注本题保持第一项大小不变，从第二项开始放大，这个技巧要求较高.有时放缩后求出来的和与所要证明的结果有一定的差距，或是缩放过大或是缩放没有到位，这时需要进行适当的调整．因为在放缩过程中，一般前几项放缩的幅度比较大，所以遇到这类问题时，我们可试试多保留前几项真值，从第二或第三项开始放缩.

放缩是一种能力，每项缩小一点点就太小，放大一点点又太大，这使学生找不到头绪，摸不着规律，总觉高不可攀，如何把握放缩的度，使放缩恰到好处，这正是放缩的精髓和关键所在.

二、紧抓数列核心条件，做到灵活变形

例3定义数列如下：

(1)对于n∈N*恒有an+1>an成立.

(2)当n>2且n∈N*，有

an+1=anan-1…a2a1+1成立.

解(1)、(2)略.

(3)要证不等式

从而得an+1-1=an(an-1).

∴原不等式得证.

学生往往因为不知根据数列的通项或递推公式进行转化，致使解题受阻.紧抓数列核心条件：递推公式an+1=f(an)或通项公式，正确进行数列不等式的缩放往往可以突破困难．

例4(2017·浙江高考)已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*)．

证明：当n∈N*时，(1)0

证明： (1)用数学归纳法证明(略)：

(2) 只需证xnxn+1-4xn+1+2xn≥0.

由条件xn=xn+1+ln(1+xn+1)得，

设函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),对f(x)进行求导，

评注本例中第二问，采用的是函数思想解决问题，抓住数列是特殊的函数这一层关系，运用导数方法，利用单调性来求最值来证明不等式，这也是数列不等式证明中常用的方法.本例中也是抓住数列递推公式这一核心条件，先进行转化，变成通项的一个不等式关系，再运用导数方法来证明数列不等式，是一种重要的方法，可以解决一类问题.

紧抓数列核心条件，做到合理、灵活变形，这才是解决问题的关键.当然这样的例子还有很多，如等比数列通项的迭代转换.这里不再一一举例.如何才能突破困难，还要靠学生不断摸索，题目很多，解题方向可以归类，但涉及具体问题上面，还有很多不同细节要处理.

建议学生在平时的学习中把相同类型的数列不等式题目收集起来，多题一解，提高学生分析问题的能力,发展学生的归纳能力，让学生在对比中总结恰到好处的放缩方法.