索伯列夫空间的性质

周建锋　王宇

摘要：介绍了广义函数的导数，引入了索伯列夫空间的有关概念，讨论了索伯列夫空间的一些性质，应用泛函分析方法，给出了这些性质的证明。

關键词：广义函数;弱导数;索伯列夫空间;完备性;可分性;自反性

中图分类号：O175.2;文献标志码：A

1 引言

前苏联著名数学家索伯列夫在研究偏微分方程理论中系统地应用了泛函分析方法，引进的一类泛函空间被称为索伯列夫空间，已成为研究非线性偏微分方程的有力工具，在微分方程、理学、计算数学、物理学等近代理论研究中被广泛的应用。本文我们将介绍索伯列夫空间的有关概念，讨论索伯列夫空间的一些性质，并给出这些性质的证明.

设 是 中的开集， 是一非负整数，向量 如果它的每一个分量都是非负整数，就称 是一 重指数（指标），并记 称为 重指数 的长度.记 用 ，表示 阶微分算子， .于是 . 表示由定义在 上所有连续且具有 阶连续偏导数 的函数 组成的集合， 简记为 ，令 = ， 中的函数本身或某些阶的偏导数可以

在 上无界. 表示由 且它和它的偏导数 在 上有界的全体函数组成的集合，若 是 中的有界区域，则空间 是Banach空间.

为了使泛函分析方法能够应用于偏微分方程，就必须扩充导数的概念，索伯列夫建立的广义函数理论把每个函数都看成广义函数，每个广义函数都是无穷次可导的，广义函数实质上是定义在一类性质很好的函数组成单位基本空间上的线性泛函。在 ）中定义收敛性就能以它为定义域定义线性泛函，而且可以使它成为完备的空间。

2 广义函数及其导数

定义1.1  Ω）（或  称 在 （或 ）中收敛于 ，如果满足下列条件：

（1）存在K  Ω（或 ），使得 与 都包含在 中，即     ， …

对于任意 重指数 ，函数序列 在K上一致收敛 ，对于任意 重指数 ，有 .

在给定上述收敛后，就称 （或（ ）为基本函数空间（或简称为基本空间） .上述收敛记为

（在 （或在 ）中）.

由此可见，基本空间 （或（ ）与 （或 ）所含有元素相同，并且定义有上述收敛性. （或 ）中的元素成为基本函数或试验函数.

设 （或 ）， （ ，由 公式可知，成立等式

如果 是一 重指数， （或 ），重复使用 次 公式推出

因此把广义函数 的 阶广义导数 用以下方式来定义

定义1.2 广义函数 的 阶广义导数

（或 ）.

易证泛函 具有可加性和连续性且具有一致收敛性，故 是 （或D（R ）上的线性泛函。所以不难看出，广义函数 的 阶广义导数 仍是一广义函数，由于 可取任一 重指数，所以每一广义函数有任意阶的广义导数;求广义函数的导数与求导的次序无关。

Ω（或 ）上所有局部可积函数全体记为 （或 ）. （或 ）中每一个函数 对应着一个广义函数 ，但不是每一个局部可积函数的广义导数都是局部可积的.

设 于是 和 都是广义函数，其中 是任意 重指数.如果存在某一函数 且 ，就称 是 的 阶弱导数，即设 如果存在 满足

就称 是 在区域 上的 阶弱导数.若函数 的 阶弱导数存在，则除去一个零测集外是唯一的，即弱导数具有唯一性.且具有下列性质

设 则

（1）对于任意满足 的 重指数 和 有

（2）对于每一 有 和

（3）若 是 的一开子集，则 .

3索伯列夫空间

定义3.1 空间

设任意开集  是 重指数， 是非负整数，集合 的元素 的范数定义为

由于 显然是线性空间，于是 是一线性赋范空间，称 为 上的整数阶索伯列夫空间。

特别的 ， 是 的子空间。如果 ，常常把 写成 （ 1，2，…）. 是Hilbert空间. .

4索伯列夫空间的性质

性质4.1 空间是Banach空间.

证明 设  中任一基本列，即

设 是定义在Ω上所有满足 的可测函数 构成的函数类，对任一 重指数 ，序列 是 中的基本序列。因为 是一Banach空间，所以序列 在 中收敛于 .下面去证明 ，

由于 ，所以每一个 分别对应一个广义函数，分别记为 和 .

不妨设 ，当 时，利用Holder不等式可知

其中 是 的共轭指数。当 时，有

而当 时，直接得

因为 有界， 有界，所以可推得

.

同理可证当 上式也成立.

所以 和 有

有弱导数的定义知

所以 ，其中 故性质得证.

性质4.2  是集合 关于空间 范数的完备化空间.

因为 是Banach空间。于是 的充要条件是存在函数列 ，使得当 时

性质4.3设 ，则 是可分空间.

性质4.4  设 ，则 是可分的.

性质4.5 设 ，则乘积空间 是可一致凸的.

性质4.6  ，则 是一致凸的.

证明 为了证明 的一致凸性和可分性，我们先建立 与乘积空间之间的关系.设 是一 重指数，用 或 表示满足条件 的N重指数 的个数。显然次数依赖 和 .把Q个N重指数依次序排列为 做乘积空间

乘积 中的元素 的范数定义如下：

则乘积空间 是Banach空间.可以在 和 的一个子空间 之间建立一个等距同构.

令 ，则算子 一对一地把 映射到 的一个子空间 内，且 因此是一个等距同构。因为 是Banach空间，所以 是乘积空间 中的一个闭集.

因为，当 时， 是可分空间.设

其中 表示系数为有理数的多项式全体，

由于 是可列集，所以 也是可列集， 在 中稠密.因而 在 中稠密.故 是可分空间.

当 时，由于 与 的子空间 等距同构，所以也是可分的.类似地，通过证明 空间一致凸和自反可得 也是一致凸和自反的.

性質4.7设 ，则乘积空间 是自反的.

证明 设  有唯一  与之对应.

，令 而且

于是 因为 所以 故有

性质4.8设 ，则空间 是自反的.

参考文献：

[1] 李立康，郭毓騊.索伯列夫空间引论[M].上海：上海科学技术出版，1981.

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[5] 李开泰，马逸尘.Hilbert空间方法（上）广义函数和索伯列夫空间[M].西安：西安交通大学出版社1990.

[5] Chen G W.Han X J.Global exstence of soiution of Cauchy problem for a nonlinear Wave equation[J].IMA Journal of Applied Mathematics，2012：55（5）：798-810.

基金项目：

陕西省教育厅科研计划项目（15JK2157）;国家自然科学基金（10571114）

作者简介：

周建锋（1965-），男，陕西蓝田人，副教授，主要从事算子理论和小波分析的研究.

（作者单位：西安文理学院 数学与信息工程学院）