联系:让数学学习真正发生

袁敬丰 张晓霞

摘要：数学是一个不可分割的有机整体，它的生命力就在于其各部分之间的联系。以“约分”教学为例，运用联系的观点，揭开看似不相干的知识、方法背后重要的和潜在的联系，让学生的数学学习真正发生：由“形”到数找联系，让学习有心向;由此及彼找联系，让学生会建构;由繁到简找联系，让思维更凝练;由表及里找联系，让思维更深刻;由近及远找联系，让思维不断流。

关键词：联系数学学习约分数学思维认知结构

事物是普遍联系的。数学更是一个不可分割的有机整体，它的生命力就在于其各部分之间的联系。著名数学家希尔伯特认为，数学的发展常常表现为原先被认为是互不相干的一些概念或理论之间发现了重要的联系，并导致新的统一性理论的建立。正因如此，“建立联系”就成为世界各国判断学生实现数学的理解性学习的一个重要标志——美国数学教师全国委员会在2000年颁布的数学课程标准《学校数学的原则和标准》将“联系”明确列为学校数学的十项标准之一。反观我国的小学数学教学实践，由于“联系”缺失，导致学生的数学学习浅表化、碎片化、机械化。这成为当下小学数学教学的“一个薄弱环节”（郑毓信语）。

“基础知识的教学，不应求全，而应求联;基本技能的教学，也不应求全，而应努力求变。”小学数学教师，要认真研读教材，准确把握数学知识、方法之间的联系并运用联系的观点指导教学，引导学生主动建构并使学生的思维更通透、认知结构更优良，进而从数学地思考走向通过数学学会思考。下面，以“约分”教学为例，谈谈如何运用联系的观点让学生的数学学习真正发生。

一、由“形”到数找联系，让学习有心向

【片段1】

师同学们，春暖花开的日子来到了，爱美的人蠢蠢欲动。不知道你们有没有注意，有一个词经常挂在一些“微胖人士”的嘴边？

生减肥。

师如果让在座的各位来当美容师，指导我减肥，你敢吗？

（众生表示不敢。）

师看来科学减肥真是个技术活！这样吧，我们来找个“小白鼠”，做做实验，怎么样？让我们先来给“数”减减肥吧。

……

奥苏伯尔指出：学生具备有意义学习的心向，是有意义学习发生的两个先决条件之一。学习心向包括认知的、情感的和行为的三种成分。其中，情感成分是学习心向的核心成分。约分，概括地说，就是在保证分数大小不变的情况下，使分数的分子、分母相对变小。这样一个“数”的变化过程，从外观上看，和生活中减肥带来的“形”的变化颇有几分相似。这里，教师巧妙地从“减肥”入手，把数的化简和人的瘦身联系起来，充分调动了学生学习的兴趣，使他们产生了积极的学习心向。

二、由此及彼找联系，让学生会建构

【片段2】

（教师出示：0.400、10.030、50.000。学生口答化简结果。）

师给小数减肥，我们是怎么做的？

（学生讨论、回答。教师相机出示“小数减肥小贴士”，如图1。）

师（出示：1624、2030、5684、600900、97100、46）美容师们，你们感觉哪些分数该减肥了？

（学生回答。教师根据学生回答圈数。）

师为什么呢？

生分子、分母太大了。

师一眼看上去，是比较大。我们挑1624来试试，思考一下：给1624减肥，我们该怎么做呢？

（学生独立思考并讨论交流。）

生分子、分母要变小一点。

生分数的大小不能改变。

生分子、分母变小一点，但分数的大小不变。

师你们的方案在数学上叫作“约分”。你能用自己的话说说什么叫约分吗？

……

有研究表明，数学思维在大多数情况下不能主动发生。教师可以运用“先行组织者”策略，为学生组织与新学内容相关的引导性材料，在新旧知识之间架设桥梁，使学生易于发现它们之间的联系并触动思维。这里，教师“顾左右而言他”，从小数的化简入手，让学生归纳小数化简的原则、方法、依据，帮助学生找到了新知生长的固着点;接着组织学生讨论给分数“减肥”的方案，使学生对约分概念的理解经历从“朦胧”到“觉醒”，再走向 “清楚表达”的必由阶段，实现对约分意义的主动建构。

三、由繁到简找联系，让思维更凝练

【片段3】

（学生掌握了用公因数逐次约分和用最大公因数一次约分两种方法。）

师同学们，约分时，为什么要用公因数来除分子、分母？

生因为要保证分数的大小不变，依据分數的基本性质，分子、分母必须除以相同的数。而公因数，就是那个相同的数。

师为什么用最大公因数就能一次约分呢？

生因为我们想使分子、分母尽可能小一点，所以用来除的数就要尽量大一点。

生因为分子、分母除以它们的最大公因数后，就没有除1以外的公因数了，分子、分母就没法再约分了。

生我发现，逐次约分的时候，用来除的那几个公因数的乘积就是最大公因数，所以用最大公因数去除，一次就可以了。

数学学习真正发生，一个重要的标志是能够积极思考并逐步学会想得更清晰、更合理。如果说从小数化简到分数约分，实现的是学生思维的“横向发展”，那么这里，教师通过两个问题的引领，使学生在明白约分依据的基础上，比较两种约分方法的异同，沟通二者之间的联系，从而促进了学生的自觉反思，实现了学生思维的“纵向发展”。即通过算理分析和算法沟通，促进了学生在理解算理的基础上优化方法，凝练思维。

四、由表及里找联系，让思维更深刻

【片段4】

（学生尝试对1624约分。）

师（出示两份“减肥小贴士”，如图2）读一读，你有什么想说的？

生小数化简和分数约分有相同点：都要保证数的大小不变。

生小数化简和分数约分的方法不同，依据也不一样。

生它们化简后的样子也不同：小数化简后位数变少了;分数约分后分子、分母变小了。

师大家认为小数化简和分数约分在方法和依据上还是有着很大不同的，是吗？

生是的。

师真是这样吗？我请回了“0.40”和“1624”，请你在下面的变化中体会。

（屏幕显示如图3所示的0.40的化简过程和如图4所示的1624的约分过程。）

师你体会到了什么？

生0.40化简，每10个0.01聚集成0.1， 40个0.01聚集成了0.4; 1624约分，每8个124聚集成13，16个124聚集成了23。

生我觉得它们的方法其实是一样的！

师是的。你们已经体会到了，不管是小数化简还是分数约分，其实都是把一个数由较小的计数单位换成较大的计数单位来表示。小数的计数单位之间是十进制，所以每次我们都是10个10个或者100个100个地聚集，看起来是去掉了小数末尾的零;分数的计数单位特别丰富，分子、分母的公因数是几，我们就把几个分数单位聚集起来，就是约分时的“除以公因数”。

数学是模式的科学，以联系的方式作为基本途径，可帮助学生不断实现知识、方法的重构，“使新的知识、方法纳入原有的结构中，从而形成一个‘更强’的结构”（皮亚杰语）。这里，教师通过归类这种极为重要的思维活动，组织学生对比小数化简和分数约分的异同，结合图形，由表及里，体会二者在本质上的趋同。在帮助学生把约分纳入“数的化简”这样一个更强的“大结构”的过程中，增强了学生的数学理解，实现了更高层次上的概括。事实上，小学数学里的大数改写、计量单位的换算等也都属于这一范畴。

五、由近及远找联系，让思维不断流

【片段5】

（教师出示分数：40100、25、410。再出示题目——①圈出最简分数，并对其余分数口头约分;②选择合适的分数填空：今天参会的老师有100人，其中男老师有40人，那么男老师是与会老师总人数的。）

师横线上可以选哪个分数？

生都可以。

师你喜欢谁在这儿？为什么？

生25，因为它是最简分数。

生25，因为它最简洁。

师原来，最简分数的“简”表现在它简明地表示出了数量之间的关系。

师（指“今天参会的老师有100人，其中男老师有40人”）从上面的信息中，你能发现新的关系吗？

生女老师人数是男老师的32。

师这里的“2”对应的男老师有多少人？“3”对应的女老师呢？如果“2”代表20名男老师，那么“3”代表多少名女老师？你还能想到什么？

（学生自由想象、列举。）

师尽管男老师、女老师的人数有多种可能，但是它们之间始终保持“女老师人数是男老师的32”的关系不变。这让我们想到：分数化简后，与其说它的大小不变，不如说它反映的关系不变。

数学思维教学的一个重要方面，是如何提出适当的问题将学生的思维不断地引向深入，使学生将当下的问题解决作为新的学习活动的起点，“求取解答并继续前进”。这里，教师巧妙地从部分与整体的关系、部分与部分的关系、比的角度设计问题，加深学生对最简分数意义的理解。尽管五年级学生还没有接触“比”这一知识，但是教师通过现实的素材（男、女老师的人数），帮助学生建立类比联想，初步体会分数和比的联系、变与不变之间的辩证关系，使学生的思维不断流。

参考文献：

[1] 郑毓信.数学方法论的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2010.

[2] 鄭毓信.小学数学概念与思维教学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014.