固基础·重过程·悟思想

袁国庆

摘要：文章从教学中存在的若干低效现象入手，分析其原因，并通过理论研究，提出“固基础·重思维·悟思想”三段式复习课课堂教学模式的建构。

关键词：高三数学;核心素养;固基础;重思维;悟思想

一、研究缘起

《普通高中数学课程标准（实验）》提出，高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。教育部印发的新高中课程方案和《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）进一步强化了学科育人功能，首次提出学科核心素养。其中，数学学科确定了高中数学核心素养的六个要素：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。基于数学学科六大核心素养，高中数学教学除了传授知识（包括数学概念、公式、法则、定理）之外，更要促使学生形成数学逻辑思维，运用数学方法解决现实问题，积累丰富的数学活動经验。

浙江省高考命题以能力立意，将知识、能力和素养融为一体，既考查学生对基础知识和基本技能的掌握程度，又考查其对数学思想方法和数学本质的理解水平，特别是考查数学思维能力和继续学习的潜能，体现了新课程的理念。从近几年的高考试卷来看，试题注重通性、通法，淡化技巧，对学生的思维能力、

数学素养提出了较高的要求。面对这些试题，很多学生缺少有效的解决办法，甚至很难上手。

《标准》已经明确提出数学学科核心素养，数学教育要以培养学生的思维能力，提高学生的学科素养为目标。反观我们的高三数学复习教学实际情况，却存在着低层次的、低效的教学现象，导致这些现象出现的主要责任应该由教师来承担。

1.就题讲题，思维过程被忽视

先讲后练、先练再讲是高三复习课的主旋律。一些教师在上复习课的时候往往是一题接着一题讲，一讲到底，始终以自我的解题思路为中心，以展现完整解答过程为终极目标。殊不知，数学作为一门培养学生逻辑思维能力的学科，它的学习难度相对较大，解题过程中思路的由来、思维的形成才是学生真正需要的。这种就题讲题、重解题结果而轻思维过程的教学显然是低效的。

2.缺少归类，思维品质欠提高

虽然解题训练对提升学生数学解题能力是必不可少的，但是一些教师视题海战为法宝，反复操练而缺少归类与反思，实在难以提高学生的数学思维品质。这种低效的教学方式对高三学生紧张而有限的复习时间来讲实在是一种浪费。

针对以上现象，笔者认为在高三数学复习教学中要十分注重数学思维的过程，切实培养学生的思维能力，提高课堂教学的有效性，真正提高分析问题与解决问题的能力。

二、研究建构

单墫教授说过，学数学如同下围棋，必须实践（做习题），必须和较高水平的人切磋（做有一定难度的题），棋力（数学水平）才有长进。此外，还需揣摩成局（学习定理的证明或著名问题的解法），领会其精髓（深刻的数学思想）。显然，学生数学素养提升的关键在于思维的提高和思想的领悟。

吴刚平教授在《教学方式变革的知识观基础》讲座中提到：知识观的核心是将知识分类，将学生的学习方式分类，可以将知识分类成“记中学”——理解、记忆、再现、判断;“做中学”——解释、推理、运用、操作、拓展;“悟中学”——体验、反思、取舍、定向、创造。

基于以上观点，笔者认为一堂高效的数学复习课应该以学生的思维活动为载体，即学生通过教师精心设计的数学活动进行思考，在此基础上围绕学生数学思维活动来开展过程教学，让学生在课堂上经历思维启动、思维碰撞、思维提升的过程。笔者把这个过程总结为“固基础·重思维·悟思想”三段式复习模式。

1.固基础——思维启动

针对我校学生数学基础相对薄弱的实际情况，把打好数学基础作为第一要义。此部分主要以基础知识、基本方法的复习和巩固为主，为进一步学习做好铺垫工作，一般用时控制在10分钟以内。通常选用两种模式进行。

模式1：知识陈述型。例如，在复习“三角函数的图象与性质”时，由于涉及的知识点较多，教师可以选用填表的形式或是学生集体回答、教师板书的形式完成。

模式2：问题解决型。例如，在复习“正弦定理和余弦定理”时，由于公式较少，教师可以设置若干练习，让学生通过解题回顾并整理所涉及的知识、技能等，达到复习和巩固的目的。

2.重过程——思维碰撞

此部分主要为例题、练习、变式教学等具体操作，为思维碰撞阶段，占据课堂的大部分时间。在教学过程中，多采用启发式教学、变式教学（一题多变、一题多解、一法多用）等，鼓励学生合作交流。教师要通过问题的科学设计，给予学生足够的时间和空间去思考和讨论。值得注意的是，学生的思维过程需要先独立体验后相互分享，教师需要做好的是引导和总结。

（1）引导学生思考。

美国著名数学家波利亚认为，解题活动并非一个机械地执行事先确定好的程序的过程，而是一个需要对之进行不断调整的过程，解题过程中的反思尤为重要。

在“重过程”的教学中，教师应当给予学生独立思考问题、解决问题的条件和机会。当一种方法、一个方面不能解决问题时，应该主动让思维向另一种方法、另一个方面跨越，对已知信息进行多方向、多角度的联想，努力通过自己的思考来解决问题。例如，在解题后，教师应该引导学生进行总结与归纳，如题目特点与方法的适用性、解题过程的成效与得失、汲取的经验与教训等，寻找发现问题、分析问题和解决问题的最佳方案;也可以从思维策略的高度对学习或解题过程进行总结，对问题进行推广与深化。

（2）组织学生交流。

没有激烈争辩的课堂注定黯然失色。如果能实现学生在课堂上主动交流观点，甚至产生较大程度和范围的思维碰撞，这样对学生的学习而言必定是简单而深刻的。

一位哲学家说过，你有一个苹果，我有一个苹果，彼此交换以后还是一个苹果;你有一个思想，我有一个思想，彼此交换以后，每个人就有两个甚至两个以上的思想。高三的复习课，教师尤其要舍得花时间让学生“说出来”，数学课堂的生命火花一旦被点燃，学生的思绪就会被点燃，有时候甚至会提出一些更高深的见解，引起全班学生的共鸣，激发全班学生的热情，这样的课堂既有深度，又有活力，这也是“交流对话”的魅力所在。在教学中，教师要鼓励学生提出不同的观点，暴露出知识上的欠缺和思维上的不足，促进学生心灵火花上的碰撞，让教师的复习教学变得更有针对性和有效性，为课堂增添一些惊喜和活力。

3.悟思想——思维提升

此部分主要为小结部分，是领悟数学思想方法、获取数学活动经验的重要环节。一般是在解决一个问题后或一堂课结束前，教师与学生共同对本节课的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观进行全面总结，是帮助学生感悟数学思想、提高学生思维品质的绝佳机会。在学生自我提炼与归纳知识、技能和方法，感悟知识蕴涵的数学思想的同时，教师必须要有意识、有目的地概括本章节（本课时）所涉及的数学思想，以更全面、更系统的观点来分析数学知识、解决数学问题的经验，使学生从感性认识飞跃到理性认识，产生质的提升。

需要注意的是，数学思想的领悟不是无水之源、无本之木，它渗透在前面思维启动、思维碰撞的过程中，在教师的引领或学生的自我反思构建下水到渠成。数学思想方法的教学除了在过程中渗透、解题后的及时体会与反思之外，更要通过课堂小结进行反思感悟的方式开展。总结也是学生学习的重要环节，方式上有知识性回顾小结、前后呼應式小结、交流反馈式小结、自主评价式小结等，具体结合教学目标、教学内容、学生学习情况等进行选用。

三、教学实例

笔者以“解三角形中的最值问题”为例，谈谈具体的操作过程。

本课时的教学目标是掌握三角形中求最值问题的一般方法，通过具体的例题和变式教学训练学生的思维能力，感悟其中的函数与方程思想、转化与化归思想。

阶段1：固基础（思维启动）。

【设计意图】（1）求三角形中最值问题建立在学生掌握正弦定理、余弦定理公式及其应用的基础之上，因此有必要首先复习这两个公式。选用“问题解决型”模式，通过问题1使学生在问题的解决过程中复习基础知识、基本技能，为本节课后面的学习做好铺垫工作。（2）通过追问引入最值问题，实现思维启动。问题1是一个确定型的问题，其实质就是解方程问题，突然减少其中一个条件后，成为了一个不确定型问题，那么不确定型问题求取值范围又应该如何处理呢？自然而然地促使学生进行主动思考、思维联想，努力寻找解题思路，达到思维启动的目的。

阶段2：重思维（思维碰撞）。

【设计意图】去掉一个条件后，此三角形已经不再确定，学生在思维上会有冲突，教师除了必要的引导之外，要给予学生足够的时间去思考，寻找方法。从问题结构特点出发，容易想到利用余弦定理将问题转化为边的关系来处理。另外，若从条件的结构出发，可以用正弦定理将其转化为角的问题来处理。转化为边的方法是把ab或a+b看成是一个整体，进而转化为一个“单元”问题，再利用基本不等式或是函数来处理;转化为角的方法是通过正弦定理将其转化为三角函数在闭区间上的取值范围问题。教师要鼓励学生从不同的方向去思考，对已知信息进行多角度的联想，努力通过自己的思考来解决问题，要创造条件让学生各抒己见，展示思维过程，促进学生思维的交流与碰撞，最终达成共识，形成解法。需要注意的是，教师必须要清楚地指出指导这两种方法背后的数学思想——函数与方程思想、转化与化归思想。

追问1：如何求a+b的取值范围？

【设计意图】问题2与追问1之间只有一点区别，一个是求最大值，一个是求取值范围，目的是让学生区别刚才用的两种方法。余弦定理 转化成边基本不等式 得到一个最大或最小值;正弦定理 转化成角 函数一得到取值范围。感受在三角形问题中转化成角来处理问题的优越性，体会函数与方程思想的重要性。

追问2：如何求2a+b的取值范围？

【设计意图】追问2是在追问1的基础上稍作改变，再次让学生感受在三角形问题中转化成角来处理问题的优越性，体会函数与方程思想的重要性。得到类似问题的一般解法，并将类似问题进行有效推广，如求2a+b。（这里的教学只需要解释到位就行，没有必要一一讲解。）

追问3：把问题2中的条件进行以下改变，如何求ab，a+b的最大值？

【设计意图】通过变式，使学生明白高考题就是在问题2的基础上演变而来的，将这一条件进行等价改变，其本质是一样的。通过归类，让学生总结出此类问题的本质都是已知三角形的一个角和一条边长，求另外两条边a+ 2b等类似问题的最值。通过一题多变、一法多用等变式教学，逐步形成处理此类问题的一般数学思想和方法。

追问4：在问题2的条件下，如何求BC边上的中线AM的最大值？

【设计意图】追问4有一定难度，是建立在之前的思维、方法、思想基础之上的，解题的关键是将中线AM转化为边b，c的组合形式，进而化归为上面所学的问题求解。在教学中教师鼓励学生小组合作交流，思考如何利用所学知识来解决问题。同时要给予学生足够的时间和空间来思考和讨论，必要时教师要给予适当的引导，借此渗透转化与化归的数学思想，让学生感受转化与化归思想在具体解题中的重要指导意义。

阶段3：悟思想（品质提升）。

回顾本节课所学，你学到了什么？小组讨论，小组学生代表发言，教师进行必要的补充和说明。

【设计意图】这里采用自主评价式小结，在教师的组织下进行小组合作，结合本节课所学内容与同学分享自身的体验。通过再次回顾本节课所学，一起感悟函数与方程思想、转化与化归思想，站在更高的角度来审视数学问题，努力实现做一题、学一法、会一类、通一片的效果。自主评价式小结是在教师的组织下同学之间平等的对话过程，体现了以学生为主体、教师为主导的新课程理念。但是，这种方式能否有效开展是建立在教师长期的引导与培养下的。在初次尝试时，学生往往只会模仿教师进行简单的知识内容的整理，或者很泛泛的谈几句等，只有教师不断地给学生搭建这样的平台，不断地鼓励他们、引导他们，久而久之，学生才会由简单模仿到有自己的观点和自己的表达方式。

四、实践反思

（1）“固基础·重思维·悟思想”三段式高三数学复习教学模式，注重学生的思维变化。在这种模式下，体现了以学生为主体、教师为主导的新课程理念，一切从学生的思维需要出发，给予学生足够的思考、实践的时间和空间，鼓励学生勇于发表自己的见解，有利于思维的有效训练，可以提高学生的数学品质。

（2）“固基础·重思维·悟思想”三段式高三数学复习教学模式是粗线条的，很多复习课都可以套用。要想收到良好的教学效果，关键在于学生的主体参与度，要求教师高屋建瓴、精心设计，站在能力立意、素养立意的高度来开展教学。

（3）如何提高高三数学复习课教学的有效性是一个永恒的课题。复习课教学模式也可以是多种多样的，既没有可以适用于各种情况的教学模式，又没有所谓最好的教学模式。教师必须从教学目标、教学内容、学生实际、自身特点等诸多方面来综合考虑，灵活地进行处理，这样才能真正实现高效的课堂教学。

参考文献：

[1]朱永祥.再谈数学思想方法的挖掘和应用[J].中学数学，2008（3）.

[2]罗永高.高中数学教学中开展探究性学习的课例研究：以高三复习课为例[J].数学教学通讯，2014（12）.