二次函数顶点坐标的两种巧妙求法

张晓英

二次函数y=ax+bx+c的顶点坐标是二次函数的最重要的性质，二次函数的最值、增减性、以及它是由二次函数y=ax如何平移得到的，都与它的顶点坐标密切相关。而二次函数的顶点坐标的两种求法都有它明显的缺点：配方法需要按照步骤规范写出来，公式法运算又很繁琐，下面介绍两种简单方法。

一、由一般式求二次函数的顶点坐标

（1）方法：在用公式法求二次函数y=ax+bx+c的顶点坐标，时，它的纵坐标运算非常麻烦，尤其是实际问题求最值，数据较大极易出错，这里介绍一种能简便运算的方法：①将二次函数y=ax+bx+c的二次项去掉，一次项除以2，常数项不变得到一个新函数y=bx+c;②由公式法求出顶点的横坐标;③把顶点的横坐标代入y=bx+c即为顶点的纵坐标，这样就大大减少了运算，提高了准确率。

（2）原理：当时，y=b·（）+c=即为顶点的纵坐标

（3）典例：二次函数y=-2x+340x-12000的最大值为▁▁▁。

解析：1）、新函数为：y=170x-12000;2）、顶点的横坐标为85;3）当x=85时，代入新函数y=170×85-12000=2450.

二、由交点式求二次函数的顶点坐标

（1）方法：在二次函数的交点式y=a（x-x）（x-x）中，抛物线与x轴的两交点为（x，0），（x，0），求顶点坐标时，横坐标为纵坐标为横坐标与x的差的平方乘以-a.

（2）原理：在二次函数的交点式y=a（x-x）（x-x）中，抛物线与x轴的两交点为（x，0），（x，0）关于对称轴对称，所以两交点到对称轴距离相等，所以当x=时，x-x₁与x-x互为相反数，所以顶点的纵坐标为横坐标与x的差的平方乘以-a.

3、应用：在二次函数的实际问题中，面积问题和利润问题的解析式常常是交点式的变式y=（x-x）（ax-ax）或y=（mx-mx）（nx-nx的形式，這样把顶点的横坐标求出来后，纵坐标为横坐标与x的差的平方再乘以二次项系数的相反数。

4、典例：某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。若每件商品售价为x元，则可卖出商品（350-10x）件，那么卖出商品所获利润y的最大值为▁▁▁元。解析：y=（x-21）（350-10x），抛物线与x轴的两交点为（21，0）、（35，0），顶点的横坐标为28，所以最大利润为（28-21）×10=490。

一点浅见，仅供读者参考。