小格子大智慧

王红芳 邵森弟

摘 要：文章根据方格图在教学中的使用现状，分析方格图在教材体系中的编排与分布，剖析方格图的外在特征和内在本质。论述了方格图在教学中的具体运用，数格子，自然建构方法与思想;摆格子，无痕链接操作与概念;画格子，无形融合算理与图形;算格子，无缝对接经典与创新。最后，文章列举了格子图在教学中的三个注意点，以期完美使用格子图，提升教法学法，发展学生思维。

关键词：方格图;操作实验;几何直观

在日常教学实践中，学生们认为数方格是笨方法，对这种方法不屑一顾，甚至老师们也认为这是一种低层次的思维活动。笔者在以往的教学中，也忽略了方格图的编写意图，忽视了方格图的运用。但在现行教材中许多内容的编写都采用了方格图，如认识公因数和最大公因数，分数乘除法的计算，平移和旋转，平面图形的面积等。专家们对方格图的编写不离不弃，是否意味着方格图与课程内容有着特殊的寓意和独特的作用。然而，直到听了特级教师袁晓萍老师的“平行四边形的面积”一课 ，一系列精心设计的数方格活动，让学生自然而然想到了剪、移、拼成长方形的方法。让笔者对“数方格”有了全新的认识，也引发了笔者对方格图在现行教学中运用的分析与探究。

一、教材中方格图的地位及作用

（一）教材中方格图的分布与地位

纵观我们的小学数学教材（人教版），方格图在“数与代数”、“图形与几何”领域中经常被采用，特别在“图形与几何”领域，格子图的应用几乎涵盖了所有平面图形的内容，在每个年级的教材中都有编排，并通过不同形式来呈现。这种呈现在遵循学生的认知特点，符合内容的结构特点的前提下，体现出循序渐进、螺旋上升的编写理念。

审视方格图在不同年级以不同的形式呈现，对于学生理解概念、掌握方法、发展空间观念有着不可替代的作用。从一年级的“位置”中的引用学生熟悉的座位排序等实物图、初步感知方格图的最初事物模型，到二年级的“图形与变换”和“观察物体”中学习轴对称、平移时方格图的运用，为学生描述平移的运动，定量刻画物体的平移，提供了重要的辅助工具;从三年级中依托方格图感受四边形中“平行”“相等”这些概念，体会方格图的标准与直观，到四年级点子图（方格图的变式）的出现，由于点子图这种只有点而缺少线的特点，为学生提供了更大的想象空间;在五年级则成了测量的重要依据，让学生在数方格中自主探究出平面图形面积的计算方法，最后到六年级的“数对”，感受数对与位置的一一对应关系，有效地发展学生的空间观。

（二）教材中方格图的剖析与作用

方格图是由很多边长相等的小正方形组成的， 正方形是由点、线构成的面。如果说点、线是一维的，那么面就是二维的，因此方格图兼具了一维和二维的特性。从一维角度看，方格图上的点、线，蕴含许多特性，易与其它内容相结合。从二维角度看，小方格就是一个单位面积，是整个方格图的基础，对于平面图形的认识和测量都有着非常重要的作用。

1、凸显点线关系

方格图上的点与点、线与线之间都有其特性。点点之间的距离都是边长的倍数，线线之间关系更是特殊，一种是互相平行，另一种是互相垂直。学生最喜欢这种横平竖直的参照，将图形置于方格图中，凸显了点和线的位置与特点，从而发现规律，理解图形的特征。可以说，方格图是图形与几何教学的重要载体。

2、提供测量标准

从一维角度看，单位面积的小方格，由于边长一定，学生借助它观察线段的长度，很容易比较出物体或线段的长短。从二维角度看，方格图作为测量标准，有利于学生发现和归纳计算方法，更为学生理解面积单位，面积单位的个数和平面图形面积计算方法之间的联系起到了重要的作用。

3、积累测量方法

由于方格图是由很多边长相等的小正方形组成的，运用于平面图形周长和面积的学习，不但可以帮助学生推导出计算方法，还可以让学生掌握最基本的“测量”方法，使用“单位”累加来完成自己的研究，实现自己的发现。学习“周长”，使用“长度单位”进行累加，学习“面积”，运用“面积单位”进行累加，面积单位的累加组成图形的总面积，对于图形面积本质的理解，图形面积计算公式的推导，“测量”方法的习得都是至关重要的。

4、渗透对应思想

在六年级“用数对确定位置”这一课，教材编写了带横向、纵向数据的网格图。其实，这是对初中知识的一种渗透，为今后学习平面直角坐标系做孕伏。从整体上看，纵横交错的网格上的点是纵向和横向唯一的交点。在图中，用一对有序数来表示一个点的位置，帮助学生感受数对与位置的一一对应关系，渗透函数思想，提升空间观念。

二、方格图在教学中的运用

（一）数格子，方法与思想的自然建构

“平行四边形的面积”这一内容，在面积计算公式推导之前有一个“数方格”的活动，许多老师在处理这一活动往往只是轻描淡写地带过，对后续的自主探究没有起到实质性的引领作用。笔者在小学数学课堂教学展示课上观摩了袁晓萍老师所执教的课，教者让一张小小的方格纸（亦称为单位面积卡）发挥了奇妙的作用，让“数方格”这一活动平淡中见神奇，朴实中见丰盈，“数”出了别样的精彩。

【“平行四邊形的面积”教学片断】

1.引入新课

（课伊始，老师用课件在格子图中呈现一个平行四边形）

师：认识这个图形码？关于平行四边形你已有哪些认识？

师：关于平行四边形，你还想学习什么？今天这节课，我们就一起来研究平行四边形的面积计算。

2.用格子图探究面积

（1）初次数方格

师：同学们手中都有这样一张平行四边形纸片，你有办法知道它的面积吗？

师：如果一个小方格表示1平方厘米，请用数格子的方法数出平行四边形的面积。并用笔画一画、标一标，让人一眼看出你数的方法。（生尝试，师巡视指导）

（2）汇报展示

师：你是怎么数的？

生1：我是先数整格的，有20格，再把上下不到一格的两个两个拼起来数的，也是4格。

生2：（用箭头符号表示拼的过程）左右两边的正好拼起来是一个格子，这样两个两个地可以拼成8个方格，再加上占整个的有20个方格，我这样一共数出24个方格。

生3：把左边的三角形移到右边（并用同一个数字表示左右相对应的方格），拼成长方形后再数一数是24个平方厘米。

（解读：教师设计数出方格纸上的平行四边形的环节，数的过程中，学生遇到问题：不满一格怎么办？并促使学生思考：如何把不满一格转化成满格？这时，老师适时鼓励学生用笔画一画，将平行四边形的转化成长方形这种剪拼方法呼之欲出，大部分同学已自己得出方法）

（3）再次数方格

师：谁能用拼的方法来数出它的面积。但是要注意，拼的次数越少就越能显示出你的水平高。

（解读：学生思维层次不同、空间想象水平有差异，拼的次数肯定有多有少，第二次拼，教师指向明确，就是要拼的次数越少水平越高，这里的活动具有挑战性，成功激发了学生的战斗力，尽显方格魔力）

袁老师在《平行四边形的面积》一课中，巧妙的运用一系列的数格子活动，让学生自然而然的想到了剪、移、拼成长方形的方法，既使学生水到渠成地得出了平行四边形的面积等于底乘高这一方法，又潜移默化地渗透了“转化”这一重要的数学思想，教学设计真是妙不可言！

（二）摆格子，概念与操作的无痕链接

一直以来，“公因数”教学，往往以抽象、单调、乏味困扰师生。赋予“公因数”图形的意义，既丰富了概念，丰盈了教学，又让学生通过数形结合加深理解。在“公因数”教学中运用格子图，让动手操作与概念理解无痕链接。

【“公因数”教学片断】

1.分别用边长9厘米和4厘米的正方形纸片铺右边的长方形，能正好铺满吗？

（1）学生操作，交流验证。（投影学生作品）

（2）想一想：为什么不能够正好铺满呢？

生：9能整除18，9是18的因数。而9不是12的因数。

……

2.怎样的正方形才能正好铺满这个长方形？

师板书：6既是18的因数，又是12的因数。6是18和12的公因数。

3.边长3厘米、2厘米、1厘米的正方形呢？能否正好铺满这个长方形？请在脑中描绘，并用语言表达。同理讲授。

多样的素材，真正丰富了学生的感知;精心的设计，真正让学生自主建构起“公因数”的概念，并帮助学生初步理解“正好铺满”的本质意义。设计操作格子图活动，组织学生展示自己的思考过程，逐步完善对概念的理解，无痕地实现对“公因数”概念的建构。

（三）画格子，算理与图形的无形融合

算理对于学生来说是抽象的、无形的，如何让学生真正理解算理，数形结合不失为一种有效的方法。具有直观形象特征的方格图的合理使用，能将抽象的数量关系形象化，把无形的解题思路具体化。“连除应用题”的教学一直是学生理解的难点，将算理与画格子结合在一起，在直观图示的导引和教师的启发下，学生能比较容易地理解数量之间的关系，理清解题的思路，提高分析问题和解决问题的能力。

【“连除应用题”教学片断】

例题：有30个桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾个？

30÷2÷3，学生画了下图：

先平均分成2份，再将其中1份平均分成3小份。

②30÷3÷2，学生画了下图：

先平均分成3份，再将其中1份平均分成2小份。

③30÷（3×2），学生画了下图：

先平均分成6份，再表示出其中的1份。

教师要求学生借助长方形表示思路的方法。因为长方形是二维的，通过二维图中的表达，让学生很容易表达出小猴的只数、吃的天数与桃子个数之间的关系。很显然，学生通过画一画的操作，借助图形语言，借助已学过的除法知识，解决了连除应用题的问题，从而理解了连除的意义。通过数形结合，让抽象的数量关系、思考路径形象地外显了，非常直观，宜于学生理解。

三、方格图在教学中的注意点

格子图作为单位面积的正方形格子，得到老师和同学们的青睐，在教学、练习过程中也大量的使用。尽管方格图有直观，清晰，单位面积一定，便于数数比较等优点，但需要注意恰当运用，切记不要事倍功半。

（一）注意适配内容

虽然有些课的内容使用格子图能得到事半功倍的作用，这些内容往往都与方格有紧密的联系。面积教学有单位面积量的需求;平移旋转有对垂直线段、单位刻度的需要;公因数、连除、分数乘除法有长方形面积长乘宽两个数相乘的呈现。但是更多的内容很难与格子图适配，如概念教学、计算教学。因此，教者要分析教材、课题内容，选择最适合的素材，不能为了使用而使用。

（二）注意适度操作

格子图用于数形结合时所花的时间相对较少，但用于操作时，耗时较大，影响教学进度。如平行四边形的面积，大多是教师引导学生转化得出面积方法，而格子图则需大量时间用来操作。由此，需要教者的精密设计，适度操作，才更能让格子图散发光彩。

（三）注意适时提升

小学生的思维正由具体形象思维过渡到抽象逻辑思维。俗话说，数学是思维的体操，数学学习的最终目标是锻炼思维，发展思维，提升思维。不管是数格子，摆格子，算格子还是画格子，都应以落实内容，思维提升为前提。使用格子图这种直观的图形，也应注意是否优化教法，升华学法，提升思维。

总之，正确使用格子图，能起到事半功倍的作用，通过直观的手段帮助学生学习几何初步知识，乃至数与代数知识。凸显了空间与图形的显现特征，赋予了数与代数直观意义，渗透了中学的函数思想。但直观呈现也需要提升，具体到抽象、模糊到清晰是必然的过渡，这个过程使得空间想象力得到充分有序地训练，空间观念得到有效地提升。

参考文献：

[1]陈敏.“三角形的面积”教学再尝试 [J].小学教学，2012，（9）.

[2]鲍延清.打破经典，思而解惑—谈“圆面积”教学处理 [J]. 小学时代·教师，2010，（11）

[3]周海萍、朱希萍.数形结合在教学中的运用 [J].小学教学，2011，（6）.

1浙江省杭州市萧山区临浦镇第一小学，浙江 杭州311200

2浙江省杭州市余杭区五常中心小学，浙江 杭州311100