都是重复惹的祸

张前晟

摘 要 排列组合问题简洁易懂，解题方法灵活多样，蕴含着深刻的数学原理与丰富的数学技巧。因此，排列组合既是高考的核心内容，也是学生们的难点痛点。计数的基本原则是不重不漏，许多错误都来源于计算中的重复计数。本文就重复的来源进行了梳理分析，并给出例题解析。

关键词 高考;重复计数;排列组合;易错题

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）05-0200-02

排列组合部分内容既自成体系，又是古典概型的基础，在高中数学占有重要地位，也是高考一大热点。至于其题型分类繁杂，解法灵活多变，并有一定的技巧性，稍有不慎便会出错。计数的基本原则是不重不漏，究其原因相当一部分错解都是重复计数惹的祸。那么题目千变万化，重复计数又是从何而来的呢？

一、分类不清导致的重复

例1：有5瓶墨水，其中红色1瓶，蓝色、黑色各2瓶。某同学从中任取两瓶，若取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色的取法有________种。

错解：分两步进行，第一步去一瓶蓝色有种，第二步在剩余的4瓶墨水中任取一瓶有种，由乘法原理共种。

错因分析：问题是至少含有一瓶是蓝色，将5瓶墨水按蓝色和非蓝色分类，包含恰有1瓶蓝色和恰有2瓶蓝色。错解错在没有分类，将两类混为一谈。我们用树状图表示一下错解的过程：

明显，蓝1、蓝2两瓶出现了重复。

正解：分两种情况：①两瓶都是蓝色：②两瓶中1瓶是蓝色，另1瓶是黑色或紅色：，应用分类加法原理共种。

同类型题：从男同学和名女同学中选人去参加一个会议，规定男女同学至少各有人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：①;②;③

则其中确算式的个数是（ ）

A.       B.       C.       D.

错解：D

错音分析：考虑分步抽取，没有按男女生分类而多选①

正解：C

例2：现有甲、乙、丙、丁等七名同学排成一排照相，要求甲乙相邻或丙丁相邻的不同排列有________种。

错解：分两种情况考虑：①甲乙相邻的不同排列个数，对甲乙应用捆绑法：;②丙丁相邻的不同排列个数，对丙丁应用捆绑法：.所以总数为：。

错因分析：以上解法中虽然用到了分类讨论，但分类讨论的类型并不准确.从事件发生的角度来看，甲乙相邻与丙丁相邻两件事情并不互斥.在一次排列中，甲乙相邻和丙丁相邻可能同时发生（如图所示）.所以，当两次讨论时，这一部分的计数重复了。

正解：在以上解法的基础上，考虑甲乙和丙丁同时分别相邻的情况：分别对甲乙、丙丁使用捆绑法，共，所以：。

点评：分类讨论是高中重要的思想方法，对应着加法计数原理.在排列组合中，准确把握题目意思后有必要先进行恰当的分类讨论，从而从源头上保证计数不重不漏。

二、顺序不明导致的重复

例3：将6本不同的书，分成三堆，每堆两本，则有多少种不同的分法？

错解：按题目要求，依次从六本书中取出两本作为一堆，则种。

错因分析：分堆问题和分配问题不同，关键在顺序，与每堆的元素个数有关.依次取书中隐含有先后顺序，如与不同.而平均分成三堆，每堆个数相同，堆与堆之间不计顺序.以上两种算同一种分法，出现重复。

正解：依次从六本书中取出两本，共种方法.除去三堆之间的顺序，即应该有种。

例4：安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种。

错解：分两步完成：先从4项工作中取出3项分配给3个人，共种，再将剩下的一个工作分给3人中的一人，由分步乘法原理求得：种.

错因分析：上述解法中将4个工作分两步进行了分配，最后用乘法原理乘在一起，将两次分配的先后顺序考虑在内，势必出现重复.

正解：将4份工作先分成不同的三堆：1，1，2，共种，其次再把三组工作分配给3个人，种.

三、点评

n个不同元素按照条件分配给k个不同的对象称为分配问题，分定向分配与不定向分配两种问题;将n个不同元素按照某种条件分成k组，称为分组问题，分组问题有不平均分组、平均分组、部分平均分组三种情况.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使2组元素个数相同，但因所属对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组再排列.

例5：6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）

A.144      B.120       C.72       D.24

错解：三人任意两人不相邻，用插空法：种，答案选A.

错因分析：本题与6人排队照相不邻问题不同，这里空的是凳子，彼此之间没有左右顺序的区别，所以不用考虑留空中的顺序.题目中隐含着去序的要求.

正解：用3个椅子留4个空，将三个人插进去，即：种，答案选D.