整体建构 启迪思维

刘玉华 王文清

【摘 要】 函数的单调性是高中阶段第一个用数学符号语言来定量刻画的函数性质，对于函数其它性质的学习具有范式的作用.函数的单调性是学习函数极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的重要模型和常用工具，也是发展学生数学素养的重要载体.本教学设计从数学知识整体的角度设计教學，让学生了解知识的来龙去脉，感受知识的形成过程，把握数学的本质，启迪思维.

【关键词】 函数;单调性;整体建构;启迪思维

1 教学目标及重难点

1.1 教学目标

（1）通过引导学生观察、思考、交流、归纳、反思，帮助学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;进一步体会数形结合的思想.

（2）通过“问题驱动”，激发学生数学学习的求知欲，发展学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养.

1.2 教学重难点

教学重点：增（减）函数定义及其形成过程，判断和证明简单函数的单调性.

教学难点：从图象升降的直观感知抽象出增（减）函数的定义.

2 教学过程

2.1 温故知新，创设情境

设计说明：从学生初中学过的函数入手，在学生思维的最近发展区设置问题，使学生学会研究函数基本性质的方法，从而引出课题.

师：我们在初中学过哪几种函数？请你分别画出它们具有代表性的一个草图.

生众：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数.

（师选取学生画的四种函数图象并投影.）

师：根据我们选取的函数图象，你能说出它有哪些特征吗？

师：同学们回答得很好，在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质. 函数的性质有很多，今天我们先学习函数从左到右图象上升或下降的这种变化规律——函数的单调性.

点评 学生经常觉得“课堂上听得懂，课下不会做题”，原因在于学生不明白应该怎样思考问题，如何学习新知识，本设计较好地示范了如何学习新知，体现了数学教学就是要通过数学教会思维.

2.2 循序渐进，建构定义

点评 通过观察函数 f（x）=x2的图象，从形的角度，完成对函数单调性的第一次认识;然后，从“数”的角度，在y轴左（右）侧，描述函数值随着自变量x的增大而减小（增大），完成对函数单调性的第二次认识;接下来，通过不断设问、追问，引导学生思考不断深入、触及本质和核心，进而运用符号语言描述“函数值f（x）随着自变量x的增大而增大（减小）”，完成对函数单调性的第三次认识;并在这一重点、难点之处，适时让学生先独立思考，再小组交流、讨论，这是很及时、很必要、很有效的;最后，把函数 f（x）=x2的单调性，推广到一般函数的单调性，完成对函数单调性的第四次认识.上面“口答”中的3个小题虽然简单，但较好地完成了对函数单调性定义的第一次深化理解——定义的充要性特质.在这一环节的教学中，函数单调性定义的建构充分体现了数形结合、特殊到一般的数学思想方法，数学抽象、逻辑推理等核心素养较好地得到了落实.

2.3 解决问题，深化理解

设计说明：通过两个例题，让学生知道判断函数的单调性有2种方法：图象法和定义法，进一步巩固和深化学生对函数单调性定义的理解.

点评 例1（1）是前面根据图象判断函数单调性题目的变式，由原来的连续函数变为分段函数，完成对函数单调性定义的第二次深化理解;（2）通过判断正误，特别是③，是定义的等价形式，帮助学生透过现象看本质，完成对函数单调性定义的第三次深化理解.

点评 执教者注意暴露学生的思维过程，抓住学生的易错点、模糊点进行辨析，对证明过程纠正、完善，完成对函数单调性定义的第四次深化理解.

2.4 反思小结，形成网络

设计说明：课堂小结从以下五个方面设计，主要是帮助学生梳理数学知识，总结数学方法，体会数学思想，感悟学习过程，通过画出知识结构图，使学生的思维网络化、条理化.

师：同学们，我们本节课学习了哪些知识？是如何获得这些知识的？在获得这些知识的过程中用到了哪些思想、方法？有哪些基本题型？你有何感悟？

学生回答，师补充完善并出示本节课的结构图（略）.

2.5 跟踪训练，巩固深化

设计说明：作业的目的是进一步巩固所学，作业1进一步回扣本节课开头提出的问题，从“形”和“数”两个角度讨论函数的单调性;作业2进一步深化对函数单调性定义的理解，掌握证明的步骤.

点评 平时教学中，作业布置存在多而杂的现象，本作业设计虽然数量不多，但极具探究性和代表性，作业1涉及分类讨论思想，作业2涉及转化与化归思想，都是对所学函数单调性的巩固深化，题目不难，但较好地培养了学生的逻辑推理能力.

3 总评

要上好一节课，必须站在数学知识系统的高度进行整体把握，要有一条主线贯穿课堂始终，避免仅仅就事论事，把知识点一个个孤立起来进行教学.本节课的主线清晰，脉络分明，充分调动学生思维的积极性，让学生学得了知识、掌握了方法、提高了能力，较好地发展了学生的逻辑推理、数学抽象等核心素养.

3.1 整体建构，创设情景

好的开端是成功的一半.创设合理的情境引入课题，是上好课的关键.本节课的引入从复习初中学习过的函数入手，在学生思维的最近发展区设置问题，使学生明白新知识的学习不是“从天而降”，不过是在旧知识基础上的进一步延伸、拓展和深化，让学生清楚应该如何研究函数的基本性质，研究函数的哪些性质等等，让学生“知其然”，并且知其“所以然”.这样，学生学到的不仅仅是知识，还有思考问题的方法.

3.2 思维核心，注重素养

）上函数值f（x）随着自变量x的增大而增大呢？”，“将其推广到一般情况，试给出增函数的定义，并类比得出减函数的定义”，引导学生从感性认识（形）上升到理性认识（数），从具体（特殊的二次函数）到抽象（一般的函数），符合学生的认知规律，使得学生的认识不断螺旋上升，发展了学生的数学抽象素养.又如，对定义的深化理解，也是分为四个阶段，根据连续函数的图象判断函数的单调性，根据分段函数的图象判断函数的单调性，通过文字叙述辨析函数的单调性，最后利用定义证明函数的单调性，深化的过程由浅入深，“知道——理解——掌握”，逐步推进，设计可谓极具匠心，较好地发展了学生的逻辑推理素养和数学运算素养.

3.3 逻辑清晰，重点突出

本节课的逻辑清晰，课堂以“情境引入——建构定义——定义应用”为线索，站在知识整体的角度设计;建构定义，通过循序渐进的四次认识完成;定义运用通过循序渐进的四次深化，使得本节课始终围绕一个主题“函数的单调性定义”进行，重点突出鲜明.其中在定义的建构环节，用符号语言描述“函数值f（x）随着自变量x的增大而增大（减小）”是重点也是难点，为此，教师“咬文嚼字”，引导学生说出“要描述自变量x的增大，就要取两个不同的x值，然后比较相应的函数值f（x）的大小”等等;又如，“任意”两字是学生认识的难点，为此，教师通过引导学生举反例、画图象等，让学生充分认识“任意”的必要性和重要性.整节课，教师主导给力，学生主体用力，课堂和谐，一派生机.

《普通高中数学课程标准》（2017年版）指出：“数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法;提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界;促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律……” [1]本节课较好地做到了这一点.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.1.