对中学数学概念教学的一些思考

俞求是

【摘 要】 本文对中学数学概念定义教学问题进行了一些讨论，着重对于三角函数概念定义的教学改革问题作了一些研究，认为目前必须兼顾用单位圆上点的坐标定义和用终边上一般位置点的坐标定义.不宜对中学数学的概念作随意的改变.中学数学概念的定义应该以权威的《中国大百科全书》作为依据，不宜随意更改某个概念的定义方式.对于三角函数的定义教学，美国三角学教科书《Contemporary Trigonometry》值得参考.中学数学教育依然需要坚持辩证唯物主义的指导.教学改革不宜轻率改变“连接”概念的意义;目前概率概念教学中通常引入抛掷硬币的教学设计往往存在着概念不清的问题，值得引起重视.教学设计首先应弄清相关概念的准确意义.

【关键词】 概念;定义;三角函数;平行平面;圆;连接;自然数;概率

在纪念改革开放40周年的时候，大家都在思考怎样尽快提高中学数学教学质量的问题.提高教学质量永无止境.教学改革会有阵痛，不进行改革就会有长痛，数学教学要不断改革才能越改越好.对于一个数学概念，是否应该改，如果要改又该怎么改，本文结合目前某些研究动向作一些论述.

概念是反映事物本质属性的思维形式.概念的本质属性，也称为概念的内涵.概念的内涵是对概念的质的描述，它表明了概念所反映的事物是什么样的.概念的外延则是对概念的量的描述，它表明了概念所反映的是哪些事物.一般来说，对于一个概念下定义，就是揭示这个概念的内涵，通过定义概念指出概念所反映的事物的本质属性，从而明确概念.给概念下定义是一种逻辑方法，是研究概念的起点，所有对于概念的研究是以概念的定义为基础的.

目前一些数学教育界人士在讨论重新定义某些概念的问题，本人认为这是一件非常慎重的事情.概念的定义是经过长期实践的考验和逐步修正完善得到的，不能作轻易的更改，改变概念定义往往会造成一系列教学混乱.

三角函数的定义问题是一个例子.根据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的高中数学教科书有多种版本，而部分版本对于三角函数定义作了改变，用单位圆上点的坐标来定义三角函数，这与长期以来三角函数的定义方式并不一致，而另一些教科书则仍用终边上一般位置的点坐标去定义.根据同一个课程标准不同教科书给出了同一概念的两种不同定义，于是就引起了我国高中数学界普遍的关注，并展开了长久而热烈的讨论甚至争论.孰是孰非，何者更佳，辩论此起彼伏，互相不能说服对方.

实际上，要论证哪个定义方式更好，确实是困难的一件事.一种定义方式，有这种定义的独特之处，就有了另一种定义不具备的长处，自己具备，别人却不具备，也就是各有所长.就像童话故事里长颈鹿和小山羊比能耐一样，三角函数的两种定义方式的比较也类似有这样的情况.

我们冷静地来思考这个问题.用单位圆上点坐标定义三角函数的方式是用角的终边上的一个特殊位置，在这个位置上，特殊性在于点到原点的距离r=1，而用终边上任意位置的坐标来定义三角函数是一直以来三角函数所采用的定义，既然是任意的，当然包括了特殊的单位圆上特殊点r=1的情境的.所以，两者的关系是特殊和一般的关系.特殊的定义是有特点的，不仅有特点而且有特长，在某些特殊的问题上有很好的针对性，如讨论某些三角函数的性质方面显得很有针对性，直截了当.只不过这种定义又难免有其局限性.一般的任意的位置具有灵活性，具有普遍的广泛应用价值，适用于较多的情境，如已知角终边上任意一点求三角函数的值，尤其在解决后续的相关领域如求直线和圆的参数方程，极坐标方程，直角坐标与极坐标的互化等这些典型而重要的数学问题时显得轻松自如，再不必另加讨论，直接就可应用.两者是特殊和一般的关系.我认为，只局限于特殊情形，也就成了一种限制，好像定义捆住了人的手脚，大家提出讨论实际上是感觉到束缚的不适，要把捆绑人的绳索挣脱掉.相信各个版本高中数学教科书在教材讨论和征求實验教师意见时也都会得到意见的反馈，可以肯定老师们基本不会赞同用单位圆上点坐标来定义三角函数.不过开始大家可能往往只局限于比较一般位置点坐标定义法与单位圆上点坐标的定义法哪种会更好一些，希望改变新定义回归一般位置定义，没有看到单位圆上点坐标来定义本身确实具有特长，结果大家也不能得到一致的意见.这使我们反思，我们以往对于数学概念的定义的教学处理中存在着对不同定义的难以取舍、难以决定的情形，存在着非此即彼的思维定势，我们也许应该改变思路，在面临一个概念存在两种似乎等价的定义时，教学中可以对于两种定义有所侧重，或者两者并重两者兼顾，而不是采取简单的一取一舍的策略.经过教学实验目前大家统一认识，认为不能把定义局限于特殊的情形而不推广到一般和任意的程度，目前教科书作必要补充修订是适当的选择.

当然，概念的定义毕竟是人为的，概念也是发展的，例如中学数学中数的概念、函数的概念等许多概念都经历了发展变化的过程，三角函数概念的历史发展也是一个生动的例子，所以，概念的定义本来就是允许改变的;另外，对于某些概念，人们还往往给出不同的定义，就中学数学教材来说，就有一些概念，不同的国家的规定就不一样.如平面平行的概念，有些国家把两个平面重合也归入平行关系，也就是，他们把我国高中数学教科书中的平行关系与重合关系两种情形统一称为平行;再如，有的严格区分了圆周、圆两个不同的概念，他们定义的圆周就是我国通常意义下的圆的概念，而他们定义的圆则是平面上被圆周包围起来的平面部分，包括圆周，前者是曲线，后者是平面的一部分.如果在中国也采用这样的定义，教材的许多结论就要作重新表述了.中国的中学数学教材采用的定义虽然有所混淆，但是借助简单的逻辑思考可以判定在具体情境中圆这个词所指的是线还是面，在讲圆的面积时圆这个词必然指圆面，这应该看成是课程教材中的一种智慧的选择，我们尽量地减少了繁琐的东西.概念定义改变影响很大，要考虑这种影响，慎重改变定义.再就是，教材编者改变一个概念的定义，必须考虑更多的问题，要付出很大的努力.改变一个概念的定义，随即就为概念新定义的教学提供了研究题材，实际上也就促进了教学研究.一般来说，改变中学数学教材中概念的定义应该非常慎重.目前，仍有一些讨论说要改变三角函数的定义，用别的方式（据称要用平行四边形面积）来加以定义，本人赞同予以否定.目前，就概念教学还有一些意见.“自然数”是一个极重要的数学基本概念，一直以来，最小的自然数是1，而目前数0也归入自然数集，对于这个变化，就有责疑“0真的应该成为自然数吗？”;再如，长期以来几何中“连接”一词有确定的意义，这种意义也是在技术中广泛应用的，教学改革应该改变这个科学技术常用术语的意义吗？改变有价值吗？这样的改变一点都没有推进科学的进步，而只是造成了混乱，这样的改变甚至带有破坏性.人们不禁要问，我们的数学教科书长期以来经过遍布全国的广大数学教育工作者和科技工作者实践的检验，教材也是经过像华罗庚、关肇直、丁尔升、杨乐、张广厚等许多著名数学家和数学教育家的审查，像三角函数这样的基本数学概念的定义是写入由国内科技界权威集体编写的《中国大百科全书·数学》的，并经过国家最顶尖的数学家和科学家所认同并在国内科技教育界广泛应用，教材又经过历届国家教材审查专家审定通过，概念的科学性是经受了长期实践检验的，“课程标准”或者“教科书”去作重新规定是否算一种轻率的行为？很不好的影响是，这样的改变冲击了那些需要在工作中运用这些概念的广大教师、科技工作者、技术工人等心目中对于科学概念的神圣的地位和观念.教育工作影响广泛，教育中长期使用的科学概念岂能视同儿戏，今年这样，明年那样，岂不造成混乱？进一步，这就意味着今后的各类数学词典、百科全书是否也都应该照新课程标准对定义加以改变，从而引起全国各个领域的科技和教育界统一作出改变，想象这样的改动其影响是多么巨大！这样大的改革是否稳妥？课程标准制订者是否预想到，改变一个数学概念的定义会产生如此广泛的连锁反应？还有一个问题，以后类似的概念，对于课程标准制订者和教材编者来说，应该参照的终级依据又应该是什么呢？我认为，《中国大百科全书·数学》应该可以作为这样的权威的依据！

对任意角的三角函数，国际上的中学数学教科书普遍是用一般位置点的坐标来定义.有一本美国的三角学教科书，我认为对于任意角三角函数的定义的一些安排很有参考价值.此书名《Contemporary Trigonometry》（2006年出版），作者是Tomas W.Hungerford，全书共7章，第0章是预备知识，第1章是三角形中的三角学，第2章是三角函数，第3章是三角恒等式和三角方程，第4章是三角学的应用;第5章是解析几何和三角学，第6章是指数函数和对数函数.此书在第1章中教学内容有锐角三角函数定义、应用三角函数解直角三角形、正弦定理和余弦定理、三角形的面积. 第1章在讲正弦定理和余弦定理之前以任意角终边上的任意一点的坐标（x，y）定义了任意角的正弦、余弦、正切这三个三角函数，然后讲正弦定理和余弦定理、三角形的面积.在第2章第2.1节引入了弧度制，第2.2节引入实数t为自变量的三角函数.其思想非常简单：

教科书按照以上的思想，重新定义了三角函数定义，把三角函数定义成实数的函数：设t是一个实数，（x，y）是标准位置上t弧度角的终边上的任意一点的坐标，r是此点到原点的距离，给出通常的三个函數的坐标定义.

以上给出三角函数定义的教材结构与我国长期以来高中数学教科书引入三角函数的结构有所不同.长期以来，我们在讲三角函数时，都是先讲角的弧度制，然后定义任意角的三角函数，再讲这样定义的三角函数实际上也可以看成实数为自变量的.这个理解在教学上往往要费点劲，学生理解起来并不那么自然、顺畅、清晰.而美国的这个教材则是螺旋式安排三角函数概念的引入，分三步走，学生理解起来比较容易，不像我们一直以来的讲法难点比较集中，首先把三角函数推广到任意角，再引入实数自变量的观点，说角与实数一一对应，于是三角函数可以看成自变量为实数的函数，美国教材的难点分散了，三角函数直接定义成实数的函数.《Contemporary Trigonometry》的定义不会产生任何的歧义，是完全清楚明了准确地得到描述的.不同的定义引入方式对于学生的理解当然是有差别的.《Contemporary Trigonometry》在第2.2节也讨论了如果点P落在单位圆上时就有r=1，于是推出P点的坐标就是（cost，sint）.我认为，美国的这本教材三角函数定义的教学安排对于我国三角函数定义的教学确有一定参考价值.

概念的科学性是概念教学的根本要求.我认为，目前概率概念的教学中通常引入的掷硬币教学设计，就存在着一些概念不清的问题.通常说抛掷硬币得正面的概率等于0.5，粗略的泛泛而言，这样的表述大致是可以的，不过我认为比较严格地也许应该这样表述：“抛掷一枚硬币得正面的概率大致等于0.5，以后一般情况下便于应用和讨论，我们认为（假设），抛掷一枚硬币得正面的概率等于0.5”，实际上，如果一定要坚持说“抛掷硬币得正面的概率恰好就等于0.5”，我们一定会提出怀疑，难道这么个大千世界，所有的硬币都会一模一样，难道硬币的质量都会绝对的、毫无偏差地均匀分布？目前，一些教学设计，统计全班或全组同学抛掷硬币得正面的频数，据此得（估计）出抛掷硬币得正面的概率，实际上，这样设计教学，概念是不十分清楚的，这样研究的是什么事件的概率呢？历史上已经经过了大数次的抛掷试验，目的是得到抛掷某一枚特定硬币得其正面的概率究竟与通常宣称的抛掷一枚硬币得正面向上的概率为0.5的判断会相差多大，在一定程度上也是希望通过试验检验抛掷一枚硬币得正面向上的概率为0.5的通常结论与真实情况的相符性，相信当时试验者作抛掷试验时绝不会找来一堆硬币，然后一起抛掷来统计抛得正面的数量，这样统计又有什么意义呢？就目前来说，应该尽快修正错误的教学设计.我认为，如果考虑课堂教学的局限性，而仍沿用类似的教学活动设计，就应该指出这种活动方案只具有近似的模拟性，虽然频数统计值仍会比较相近（毕竟不同硬币其质其形总归还是比较接近的），统计的频数与概念本身的意义并不完全一致.应该告诉学生怎样的抛掷硬币试验才是正确的试验.从这个例子说明，进行教学设计，首先应该非常清楚教学中相关概念的意义，否则教学设计就容易出差错.