借助HPM促进学生对数学概念本质理解的探索

李芳芬

【摘 要】 HPM教学为学生理解数学概念本质开辟了一条新路.本文以对数概念教学为例，将对数发展史上的3个重要阶段：简化运算思想、对数的发明、指对数的互逆关系纳入课堂教学中.通过“亲历运算之繁琐”、“发现数表之便利”、“体会数表之局限”、“弥补数表之缺憾”、“引入符号之迫切”、“两款对数之发展”六个环节，促进学生对数学概念本质的理解.

【关键词】 HPM;对数;概念教学

在紧张的教学进度安排下，数学概念教学往往容易流于形式.一个定义三项注意或掐头去尾烧中段等，是常见的概念教学形式，先是简单粗暴地讲完数学概念，再是大量的练习巩固，看似学生会做题了，但这种成效是短暂性的，学生是照葫芦画瓢式解题，过段时间就会忘记，或换一个新颖的题型，学生就无从下手了.问题的根源是学生只学了概念的形式化定义，没有吃透概念的本质.

面对高中新的数学概念，我们该如何教学呢，如何在情境中自然地抽象出数学概念，把握概念的内涵与外延，体会概念的价值和作用呢？笔者在多年的教学实践中，深切感受到HPM教学对提升学生理解概念本质有积极的作用（HPM是History Pedagogy of Mathematics的缩写，指数学史和数学教育的关系）.HPM教学有助于激发学生学习数学的动机和兴趣，感受数学是一门不断演进、人性化的学科，而不是一个僵化的真理系统;有助于学生感悟概念是如何发展的，揭示数学概念、思想的起源;有助于学生理解数学符号、概念、计算法则、表征方式、数学语言的演进过程;根据历史相似性，过去的数学家所遇到的困难有助于解释、解决今天学生的学习困难……

本文以人教版高中数学必修1中对数概念为例，在HPM视野下重构对数概念教学，提高学生对对数概念本质的理解.和读者一起领略HPM的精彩纷呈，如有不当请读者谅解、指正.

1 设计思路

本文笔者不采用原教材的设计思路，而是遵从历史发展，对数发明先于指数，感受对数概念产生的必要性、自然性与合理性.但是原本的历史太错综复杂，一一叙述太冗长，一节课也完不成教学任务，最后沦为“数学史课”.能否有一种既能完成教学任务又能诠释对数本质的教学方式？为此，笔者在整体设计上采用重构式，教学流程如图1所示[1]，借鉴历史、重构历史，结合学生的经验与认知水平，对对数史资源进行有效的选择、整合，结合现代多媒体技术，使学生乐于学习，并能从中得到有益的启迪.

2 教学主要环节

2.1 亲历运算之繁琐

师生共同观看视频《开普勒计算出开普勒定律共算了7遍，过程艰辛》，呈现出古代科学家在探索宇宙时所面临的运算困境，在没有计算机时代，庞大的天文数字计算严重地束缚着人类探索宇宙的进程.

教师用PPT呈现以下四道计算题：

每个小组负责计算一题，感受大数计算的不便.教师指出这四道计算与古代天文数据计算比还是相形见绌了.那有办法改进大数计算吗？

注 前3题的数据都可表示为2的乘方，为第二环节双数列的对应关系做好准备;第4题的数据为光在真空中的速度乘以一年的总秒数，得到的是天文学单位1光年，为第三环节体验数表之局限做好铺垫.

2.2 发现数表之便利

呈现15世纪法国数学家许凯（Chuquet N.1445～1488）在其《算学三部》中给出的双数列数表[2]，如图2，结合刚才的前3道计算题，能发现什么规律？

很显然，前3题的数据在表格中都可查，运用指数律运算能发现规律.

学生依次作答：

能否推广到一般的情形，用字母表达呢？

总结：第二行（等比数列）中数的乘法、除法、乘方、开方分别对应第一行（等差数列）中数的加法、减法、乘法、除法.古人通过这个对应就可实现简化计算，使运算降级.

注 （1）高一学生在学习对数时，还未学习等差、等比数列的概念，此处可不提及数列的概念，不妨碍学生的理解.

（2）将乘除、乘方、开方转化为简单的加减乘除过程，是对数运算性质的算理本质，为第2课时对数运算性质的推导做好准备.

（3）除许凯外，古代还有很多数学家如阿基米德（Archimedes，约公元前287～前212）、施赖贝尔（Schreyber H.1495～1525）、弗里修斯（Frisius G.1508～1555）、施蒂费尔（Stifel M.1487～1567）等，利用双数列之间的对应关系提出指数律，从而简化计算，但当时还没有幂指数的记法，直到17世纪，笛卡尔（Descartes R.1596～1650）发明了幂的记号，才有形如2m·2n=2m+n的简便表达方式（指数幂的表达形式经历了漫长的演变，可以说数学的发展史也是一部数学符号的进化史[3]）.

2.3 体会数表之局限

让学生思考是否所有的数据计算都可以查表，如不行，请举例说明，并指出数表存在的问题.

学生发现：（1）若要计算1048576（220）的立方，则数表不够长;（2）数表第二行的数据间隔大，有许许多多的数据不在数表中，如无法解决课前提出的1光年的数据计算;（3）数表仅仅以2为底，那以3、5等为底的情况呢……

总结：数表缺广度、精度、密度.能用数表来简化计算的，仅仅是一小部分的数值计算.

2.4 弥补数表之缺憾

以1光年的数据计算为例，我们希望能查找到2？=299792.468和2？=31536000中的“？”值.基本思想是不断往图2第二行数据间隔中填充数，增加数表的密度.请同学们思考有没有解决办法？

学生提出兩套方案：

（1）用计算器或电脑计算;

（2）图2第一行相邻两数如5和6对应32和64，它们的算数平均数5.5对应几何平均数32×64≈45.2548，以此类推，5和5.5的算数平均数5.25对应几何平均数32×32×64≈38.0546……只要分得足够细，32和64之间就能不断填充数.

方案（1）适用于现代，古人没有高科技;方案（2）思路清晰，方法明确，但造表的计算难度还是非常大的，不过一旦造好将是一劳永逸的，那古人有没有更好的办法呢？

纳皮尔整整经过二十年的努力制作了一张划时代的数表，在1614年出版《奇妙的对数定律说明书》，标志对数的产生，成为17世纪三大重要数学成就之一，大大缩短了天文学家用于冗长计算的时间，使天文学家的寿命倍增.纳皮尔将图2数表的第一行数叫做“logarithm”，这个词由希腊文logos（比）和arithmos（数）组合而成，17世纪由波兰传教士穆妮阁（J.N.Smogolenski，1611～1656）传入中国，明代数学家薛凤祚（？～1680）将其翻译为“对数”.

清代康熙皇帝主编的《数理精蕴》中记载：“以假数与真数对列成表，故名对数表.其法以加代乘，以减代除，以加倍代自乘……莫不皆以假数相乘而得真数”，古代“假”（如：假舆马者非利足也）就有借助的意思，故中国数学家将图2数表第一行“借来用一下”的数记为“假数”，对应的第二行数即称为“真数”（笔者认为这是N为什么叫真数的原因），后来将“假数”称为“对数”，“对”是“对应”、“相对”的意思.

（2）原教材抛开了双数列之间的对应关系，导致名词与定义分离，使得学生对对数的理解有障碍.

（3）思考如何得到2？=299792.468中“？”的准确值，为引出对数符号做好铺垫.

2.5 引入符号之迫切

显然，大多数的数很难找到甚至找不到对应的精确的幂指数，那如何得到准确值呢？初中我们是如何解决？2=2的？

总结：引入新符号“ ”即可解决非完全平方数的平方根问题.为了得到精确值，我们也需要创造新的符号来表示2？=299792.468中的“？”.历史上曾采用“logarithm”的前三个字母“log”来表示，因为“？”与底数和真数都有关系，故数学家采用log2299792.468来表示，2？=31536000中的“？”=log231536000.推广到一般化，就有了对数的定义：

如果ax=N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

思考：字母a，N，x的取值范围.

注 对数的发明先于指数，在讨论字母的取值范围时，理应对a进行正负性讨论等，但是需要用到大学知识，不在中学生掌握之内，为降低难度，笔者采用原教材处理方式（采纳一个权威的规定，必须取a>0，且a≠1且必须取x的正主值，其他情况都不提，即：对数是只对正的自变量才有定义的单值函数）从指对数的关系出发，得到a，N，x的取值范围[4].

2.6 两款对数之发展

课堂上如有时间，可介绍纳皮尔和朋友布里格斯（Briggs H.1561～1630）的旷世之约故事，布里格斯后来对对数表进行优化完善，得到常用的以10为底的常用对数，初中曾经发过的《中学数学用表》里面就有一张常用对数表.

另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数，它与借贷复利计算有很大关系，在放射性元素的衰变公式、牛顿的冷却定律等数学模型中都包含e，在物理、化学和建筑学等自然科学中也经常会出现，故引入以e=2.71828…为底的对数，称为自然对数.

注 （1）根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺.不过随着科技的发展，对数表、对数尺已让位给电子计算机.课堂上展示对数尺的图片，让学生了解，拓宽学生知识面.

（2）在连续复利计算中，e=limn→（1+1n）n=2.7182818284…即为自然对数的底，也是微积分中的一个重要极限.

（3）常用对数和自然对数的名称和底数数值不是“空穴来风”，而是“事出有因”.

（4）就像“22”简化为符号“2”一样，常用对数和自然对数的符号也分别简化为“lgN”、“lnN”.

3 教学反思

（1）借助HPM教学，学生明白了对数的来源是航海、天文等的计算需求，不是天上掉下来的，更不是为了高考而设置的，体会数学是有用的，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力.

（2）在课后与学生交流中，学生表示很喜欢这样的课堂，这样的课生动，有趣，环环相扣，跟随数学家的足迹，领略大师们的风采，既学完了数学知识，又增加了见识;从课后作业情况看，在概念理解、对数运算上都明显好于其他班.

（3）笔者备课时，充分利用课后的 “阅读与思考”一栏：《对数的发明》，不辜负编者的良苦用心.教材副主编章建跃先生曾提出四个理解：“理解數学、理解学生、理解教学、理解技术”，笔者相信这样设计没有违背编者的意图，数学史是践行四个理解的有效载体.

（4）概念教学要让学生经历概念的形成过程，不能无中生有，虚无缥缈，要让学生能在情境中抽象出数学概念，把握事物的本质，才能真正培养学生数学抽象的素养.

（5）想把数学概念的来龙去脉讲清楚，大量的阅读不可缺少，为理清对数发展史及教育价值，笔者曾查阅大量的资料，莫里斯·克莱因的《古今数学思想》和菲利克斯·克莱因的《高观点下的初等数学》给了笔者很大的启发与帮助，借助历史，把“现成的知识”还原为“现实的问题”需要教师脑中有货.笔者将继续努力，在HPM视野下开发更多的教学案例.

参考文献

[1] 金惠萍，王芳.HPM视角下的对数概念教学[J].教育研究与评论，2014（9）：28-34.

[2] 汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017：450-456.

[3] 莫里斯·克莱因.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，1979.

[4] 菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学[M].上海：复旦大学出版社，1908：163-165.