直周之角 寻亲觅根*——源于一道春季高考试题

(芙蓉外国语学校，浙江 金华 321004)

1 问题呈现，探索分析

图1

例1如图1,O为坐标原点，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于点M(x1,y1),N(x2,y2).

1)写出直线l的方程；

2)求x1x2与y1y2的值；

3)求证：OM⊥ON.

(2005年北京、安徽春季数学高考文科试题第18题)

分析本题主要考查的是解析几何中常规的基本运算.联立方程，把问题转化为常用的斜率及向量处理，即可快速求解证明.笔者思考第3)小题中的结论是一种巧合，还是另有奥秘.

2 大胆猜想，寻找规律

结论OM⊥ON，即过定点P(2,0)的直线l与抛物线y2=2x相交的点都具有该性质，这与圆中过圆心的弦(即直径)所对的任意周角都垂直不谋而合，由例1发现抛物线中也具有这种关系.于是大胆地猜想：

猜想1只要OM⊥ON，则直线l一定过定点(2,0).

为了避免不必要的证明，可通过几何画板先演示追踪直线进行探索，可知直线l过定点(2,0)，下面再进行严格的代数证明.

证明设直线l的方程为x=ky+m，点A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

y2-2ky-2m=0,

于是

y1+y2=2k,y1y2=-2m.

因为OA⊥OB,所以

得

m=2或m=0(舍去),

因此x=ky+2,即直线l恒过定点(2,0).

下面提出更一般的猜想：

图2

猜想2直线l与抛物线y2=2px相交于点A,B，若OA⊥OB，则直线l恒过定点.

同样为了避免没必要的证明，还是通过几何画板先演示追踪直线进行探索，可知直线l过定点(如图2).下面再进行严格的代数证明.

2)当k存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

ky2-2py+2pm=0,

于是

因为OA⊥OB,所以

得

m=-2pk或m=0(舍去),

因此y=kx-2pk=k(x-2p),即直线l恒过定点(2p,0).

结论1直线y=kx+m与抛物线y2=2px相交于点A,B，若OA⊥OB，则直线恒过定点(2p,0).

推论1过定点(2p,0)作直线且与抛物线y2=2px相交于点A,B，则OA⊥OB.

推论2过定点(2p,0)作直线且与抛物线y2=2px相交于点A,B，则点O,A,B共圆.

通过圆的周角结论，大胆猜想，并结合图形让学生切身体验、观察和推理，探索发现抛物线的周角性质．

从结论1中知道O为定点(原点)，下面将视野再放大：若直角顶点P不在原点，且PA⊥PB，则直线AB是否还会过定点？

猜想3已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px上定点且抛物线与直线l交于点A，B，若PA⊥PB，证明：直线AB恒过定点.

同样借用几何画板先直观地观察，知直线AB仍然恒过定点.下面通过代数证明并寻找该定点.

2)当k存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

ky2-2py+2pm=0,

于是

因为PA⊥PB,所以

得

m=-y0-k(x0+2p),

因此直线l的方程为y=kx+m=k(x-x0-2p)-y0，即恒过定点(x0+2p,-y0).

结论2已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px上的定点且抛物线与直线l交于点A,B，若PA⊥PB，则直线AB恒过定点Q(x0+2p,-y0).

通过改变周角顶点，观察图像发现性质仍然成立，并逻辑推理、探索证明其他圆锥曲线中的周角性质，类比推广.

3 追根溯源，总结提升

人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学(选修2-1)》第73页习题2.4第6题如下：

图3

例2如图3，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A,B，求证：OA⊥OB.

分析由上述结论可知直线过点(2p,0)，即(2,0)，因此必有OA⊥OB.

例2是例1的源头.茫茫题海，问解何处觅，课本寻根、课本探源，尽览众山小.因此在平时的教学及学习过程中，要学会对问题的深入探究以及学会同根同宗问题的延续及推理.

大家都知道圆锥曲线与圆有着天然的联系，一方面在很多题目中看到动圆的圆心轨迹就是圆锥曲线，反过来圆锥曲线又可生成圆，它们相伴而生，如影随形.并且圆锥曲线的很多性质都与圆有相似结论，这种类比推理的学习不仅有趣，而且对视野的扩展及解题能力及素养的提升都有很大帮助.在平时的学习过程中，不仅要学会推理、寻找联系，还要对一些结论进行整理、推广以及应用.

图4

4 延伸拓展，拾级而上

例3如图4，已知点M(1,1)是抛物线C:y2=x上的一点，直线l与抛物线C交于点A,B，使得∠AMB=90°,则原点到直线l的距离最大值为______.

(2018年浙江省金华市十校联考高二第二学期期末考试第15题)

分析1设直线方程为x=my+n，联立方程得y2-my-n=0，从而

y1+y2=m,y1y2=-n,Δ=m2+4n.

因为MA⊥MB,得n=m+2,所以

图5

评注利用结论2，此题可快速求解，避免大量运算.

例4如图5，已知抛物线y2=4px(其中p>0)，O为顶点，设A,B为抛物线y2=4px(其中p>0)上除原点以外的两个动点，已知OA⊥OB,OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

(2000年北京市春季数学高考理科试题第22题)

分析由结论1可知，直线l过定点Q(4p,0).因为OM⊥AB，所以OM⊥QM,因此点M的轨迹是以OQ为直径的圆(除点O,Q)，即

(x-2p)2+y2=4p2(其中y≠0).

评注利用结论1，此题可快速寻找轨迹变量关系的转移，避免寻找点A,B的大量运算.

总之，高考与学习都是源于课本但又略高于课本，熟悉的结论虽然陌生但又有据可依.因此在平时的学习中，多把教材上的知识点、例题以及练习作为学习的第一资源，多加以探究及联想、类比与拓展，串联一些相关的知识，让高考回归课本，让解决问题变成水到渠成的事情，相信经过长期研究及探索，命题者的奇思妙想也会变得理所当然.