运用化归思想 探索解题思路——2018年广东省中考试题第24题的解法探索及教学启示

（广东省珠海市紫荆中学）

化归思想是初中数学中最重要的基本思想方法之一，它指在解决问题的过程中，有意识地对问题进行转化，将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题或基本的解题模式.化归思想意味着用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物，认识问题.如何培养学生有意识地运用化归思想去解题一直是我们研究的课题.下面以2018年广东省中考试题第24题第（3）小题为例，谈谈如何指导学生运用化归思想去探索几何问题的解题思路.

一、试题特点

题目如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E.

（1）证明：OD∥BC；

（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；

（3）在（2）的条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长.

图1

此题以圆为背景，涵盖了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、平行四边形的知识，综合性强、灵活性大.第（3）小题求线段EF的长度，难度较大，但是如果运用化归思想，就可以很快找到正确的解题思路和方法.

二、解法探索

1.将所求的线段化归为相似三角形中的一条边，运用方程法求解

方程是求线段长度的重要思想方法，而运用相似三角形的性质列方程是最重要的一种途径，因此教师要引导学生观察图形，寻找合适的相似三角形，将要求的线段化归到常见的相似三角形中求解.设BD与AC的交点为点M，观察图形，容易发现含有EF的三角形有△DEF，△MEF，根据题目条件及图形特点，不难得出△DEF∽△DBO或△MEF∽△MDA.如果找不到合适的相似三角形，则可以通过作辅助线构造相似三角形，这样学生会涌现多种解法.

图2

解法1：由已知条件，易证△DAE∽△DOA，

解法2：因为∠AFD=∠AED=90°，

解法3：易证△MAF∽△MDE.

解法4：易证△EGA∽△FGD，得

解法5：如图3，作BN∥FE交DO的延长线于点N，

图3

这类解法的思路是将所求线段化归为相似三角形的一条边，再将证明三角形相似化归为证明对应边成比例或者对应角相等，这类解法需要同时探究两个三角形的关系.在教学中，要引导学生从结论入手，向着既定目标有的放矢地逐步化归，从而培养学生的化归意识，锻炼学生的化归能力.

2.将所求的线段化归为直角三角形的一条边，运用解直角三角形法求解

将线段EF化归为直角三角形的一条边，关键在于发现含EF的直角三角形.先考虑在现有的条件下，通过连线，找到含EF的直角三角形.例如，连接FC，可以发现并不难证明△EFC为等腰直角三角形；若在已有的条件中，找不到或连不出含EF的直角三角形，再考虑从线段EF的端点出发作垂线，构造直角三角形.

解法6：如图4，连接FA，FC.

图4

解法7：如图5，作FH⊥AC于点H.

图5

解法8：如图6，连接AF，作EP⊥AF于点P.

图6

解法9：如图7，作FK⊥OD于点K.作BT∥FK，交DO的延长线于点T.

图7

解法10：如图8，作FK⊥OD于点K，连接OF，AF.

图8

这类解法的思路是将所求线段化归为直角三角形的边求解，只需要探究一个三角形，即所求的线段是一个直角三角形的边.或通过作辅助线将所求线段化归为一个直角三角形的边即可.与前一类方法比较，解直角三角形法更简洁、目标更明确、指向性更强.通过构造直角三角形的多样性及解直角三角形方法的多样性，可以培养学生化归的灵活性.

3.将所求的线段化归到平面直角坐标系中，运用解析法求解

鉴于此题特征，还可以考虑运用解析法，将所求线段长度的问题化归为求点坐标的问题.因此，先要在图形中建立适当的平面直角坐标系，再设法求出点E，F的坐标，这样就可以用两点间的距离公式求EF的长度了.若以点O为原点建立平面直角坐标系，则有利于充分利用半径，将点在圆上这一几何问题，转化为用三角函数表示点F坐标的问题.若以点E为原点，则易于求出EF和BD的解析式，将求点F的坐标转化为求方程组的解，这样更符合初中学生的认知水平.

解法11：如图9，以点O为坐标原点，OD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.连接OF，作FQ⊥OD于点Q.

设∠FOQ=α.

在Rt△OFQ中，由OF2=OQ2+FQ2，得

sin2α+cos2α=1.②

由①②联立方程组，可解得

所以由两点间的距离公式，得

图9

解法12：如图10，以点E为坐标原点，OD所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.连接AF，欲求EF的长度，只需求点F的坐标.欲求点F的坐标，只需求BD和EF所在直线的解析式.

由解法2知，A，E，F，D四点共圆.

可得∠DEF=∠DAF=45°.

则EF所在的直线是第二、四象限的角平分线，解析式为y=-x.②

由①②联立方程组，得

图10

解析法的思路是将求线段长化归为求线段端点的坐标，与前两类方法相比较有很大的不同，前两类解法是将所求线段分别化归在两个相似三角形或一个直角三角形中，而解析法是将其化归为运用两点距离公式进行运算，从而将几何问题化归为代数问题.当题目条件中出现互相垂直的线段时，可以引导学生建立恰当的平面直角坐标系，尝试解析法.在初中教学中，有意识地渗透解析法，有利于加强知识之间的横向联系，拓宽学生化归的跨度，为探索几何问题的解题思路打开新的窗口.

三、教学启示

1.在审题时，将条件向结论方向转化

在引导学生审题时，要让学生对题目的条件进行简单推理或大胆猜想，逐渐向结论靠近，有助于寻找解题思路.例如，此题根据已知条件“AB=AD=CD，AB为直径”，可以推出△ABD和△DAC都是等腰三角形，连接AF，则易得AF是等腰三角形ABD的底边上的高线、中线，以及顶角∠BAD的平分线.还可以大胆猜想DE是等腰三角形DAC的底边上的高线、中线，以及顶角∠ADC的平分线.而事实上，这一猜想也不难证明，连接OC，因为DA=DC，OA=OC，则点O，D都在AC的垂直平分线上，即OD垂直平分AC.又如，此题根据已知条件“tan∠ABC=2，BC=1”，可以很快计算出AC，AB，AD，OE，ED，OD，BF，DF等线段的长度，为求EF的长做好了充分的准备.

2.在寻找思路时，将结论向已知条件转化

在引导学生寻找解题思路时，除了运用综合法，还可以运用分析法，尝试将未知的几何结论向已知的几何模型转化.在平时的几何教学中，引导学生提炼一些常见的几何模型，积累解题经验.在解决几何问题时，要引导学生仔细观察，善于从复杂的图形中分辨出几何模型.此外，要引导学生进行发散联想，把要求的结论与几何模型联系起来，就能较快地找到解决问题的思路.例如，此题要求EF的长，联系点E，F分别是AC，BD的中点，就要利用常见的几何模型来求解.例如，全等三角形、相似三角形、直角三角形、三角形的中位线、两点间的距离公式等.

3.在思路受阻时，将不完整的图形向完整的几何模型转化

解决几何问题的过程，其实就是一系列的转化过程，虽然灵活多变，但又有规可循，这个“规”就是数学基本思想和方法.在课堂教学中，教师应该着眼于学生的长远发展，重视数学基本思想和方法的教学，落实数学核心素养的培养.数学题型与解题技巧多种多样，但是数学基本思想和方法并不多，重视数学基本思想方法在探索解题思路时的指导作用，以不变应万变，不仅可以切实减轻学生负担，而且可以真正提高学生思维的灵活性和创造性.