中考试题中滚动旋转问题分析

（广东省中山市纪中三鑫双语学校）

几何图形的旋转变换是初中数学图形变换部分的重要内容，也是中考重点考查的内容.各地中考试题中除了考查旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）和基本性质（不变性）之外，也常常将其与三角形相似结合起来，对存在性问题的探索与最值问题的确定进行综合考查.

从最近两年的中考试题来看，一种新的综合——旋转与滚动的综合也在各地中考试题中有所体现，并在一些地区呈上升趋势.下面我们以2017年部分中考试题为例，对滚动旋转问题进行分析，为九年级师生的中考复习提供参考.

类型一：在直线上的滚动旋转

例1（浙江·衢州卷）如图1，正三角形ABO的边长为2，O为坐标原点，点A在x轴上，点B在第二象限，△ABO沿x轴正方向做无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是_____，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为_____.

图1

分析：作B3E⊥Ox于点E，易知观察图形可知，连续滚动旋转三次为一个循环.在一个循环内，点M的运动路径是由以点O为圆心，以为半径，圆心角为120°的圆弧；以点B1为圆心，以1为半径，圆心角为120°的圆弧；以点A2为圆心，1为半径，圆心角为120°的圆弧共同组成.由2017÷3=672…1，从而可求出翻滚2017次后AB中点M经过的路径长.

解：如图2，作B3E⊥Ox于点E，易知

因为2017÷3=672…1，

图2

此题是将正三角形一边放在x轴上，分别以三角形顶点为中心进行滚动旋转.考查旋转的基本性质、轨迹、弧长公式、等边三角形的性质等知识，以及规律性问题的解决方法，将推理、探索、归纳与计算自然融入题中.解答此题的关键是灵活运用从特殊到一般的探究方法.

例2（广西·南宁卷）如图3，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，……，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为_____.

图3

分析：利用旋转的基本性质，首先求出点P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题.

解：第一次旋转，以点A为旋转中心，将正方形ABCO顺时针旋转90°，点P旋转到点P1的位置，可求得点P1的坐标为P1(5，2).

同理，可得第二次旋转后点P2的坐标为P2(8，1)；

第三次旋转后点P3的坐标为P3(10，1)；

第四次旋转后点P4的坐标为P4(13，2)；

第五次旋转后点P5的坐标为P5(17，2).

发现点P的位置旋转四次为一个循环.

因为2017÷4=504…1，

所以点P2017的纵坐标与点P1相同为2，横坐标为5+12×504=6 053.

所以P2017(6 053，2).

故答案为(6 053，2).

这是一道以正方形为背景，以旋转为主要变换的规律探究题.此题借助于平面直角坐标系，分析正方形内已知点随正方形滚动旋转前的坐标变化，考查旋转的基本性质及简单计算.与例2不同的是已知点不在图形的边上，而是在其内部某一具体位置.虽然求解的问题不同，但是解题思路与方法没有改变.

图4

由题意，可得∠BAO=30°.

因为点B的坐标为B(0，1)，

在一个旋转周期内，OO2=OA+AB1+B1O2=2+

此题是将一个直角三角形放在特殊的直线上滚动旋转.所考查的是图形与坐标的变化——一次函数图象上点坐标的特征.由于是将直角三角形滚动旋转，所以旋转中心分别为三角形的三个顶点，旋转角分别为直角三角形的三个内角或其补角，旋转方向为逆时针方向旋转.通过探索和分析，易于判断其周期性.按周期性计算长度就比较容易得出答案.规律性问题属于中考常考题型.

从以上三道例题来看，其都是将基本图形放在特殊的直线（坐标系的坐标轴或特殊的正比例函数）上滚动旋转，正因为这些“特殊”的存在，隐含着较多的已知条件，便于进行各种计算.同时，这些图形在连续滚动旋转之后，都是呈周期性变化的，因此规律问题的特征分析和解法也得到了较好的考查.

类型二：在多边形内部沿边滚动旋转

例4（河北卷）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使边OK与边AB重合，如图5所示.按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使边KM与边BC重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使边MN与边CD重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是（ ）.

图5

（A）1.4 （B）1.1 （C）0.8 （D）0.5

分析：旋转作图，以正六边形和正方形为背景.正六边形每个内角是120°，正方形都是绕着正六边形顶点旋转30°，先把正方形每次旋转后的图形画出来，然后找到点M旋转后的位置以及对应的轨迹，可以发现点M的运动路线都是一段弧长.

解：点B固定不动，在每次旋转过程前后重点考查点M的运动轨迹.

在第一次（如图6）和第二次旋转（如图7）过程中，点B，M之间的距离d=1；

第三次旋转（如图8）过程中，点B，M之间的距离满足

第四次旋转（如图9）过程中，点B，M之间的距离满足

第五次旋转（如图10）过程中，点B，M之间的距离满足

第六次旋转（如图11）过程中，点B，M之间的距离d=1.

故选C.

图6

图7

图8

图9

图10

图11

涉及旋转的问题，首先要弄清旋转的三个基本要素，画出旋转前后的图形，在此基础上，进行分析与计算.解决这类问题的难点在于要画出变化后的图形，发现旋转过程中的规律.这类题型考查学生对数学活动的体验.

类型三：在多边形外部沿边滚动旋转

例5（广西·玉林卷）如图12，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（ ）.

图12

（A）240° （B）360°

（C）480° （D）540°

解析1：先把小三角形沿着大三角形滚动的情况画出来（如图13），绕着小三角形的顶点旋转120°，第二次绕着大三角形的顶点旋转240°，第三次绕着小三角形的顶点旋转120°.旋转的度数其实就是线段OA绕点O旋转的度数，即240°+120°+120°=480°.

图13

解析2：三角形的内心是角平分线的交点，如图13，第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，线段OA绕点O顺时针转过的角度是120°+240°+120°=480°.

此题难度不大，但容易让学生不理解的是线段OA绕点O顺时针旋转，但在旋转的过程中，点O也在旋转.其实如果我们把旋转的本质分析、理解透了，问题就很容易解决.因为在旋转的过程中，被旋转的对象整体或部分旋转角度是相同的，旋转方向是相同的.所以，只要抓住一个点的旋转进行求解即可.

类型四：利用对称性绕中心滚动旋转

旋转180°，本质就是中心对称.在旋转中心变化的情况下，旋转轨迹为圆周.

例6（湖北·天门卷）如图14，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-1，1)，B(0，-2)，C(1，0)，点P(0，2 )绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为_____.

图14

分析：根据旋转180°实质为中心对称的特征，将点P分别绕A，B，C三点进行旋转作图，可以发现规律，寻找规律后即可解决问题.

发现旋转6次为一个循环.

因为2017÷6=336…1.

所以点P2017的坐标与点P1的坐标相同，

即P2017(-2，0).

故答案为(-2，0).

此题考查的第一个知识点是中心对称，学生要会找对称点，若点P1坐标找错，后面的规律就难以发现，所以首先要会作中心对称图形.考查的第二个知识点是找规律.常规找规律题目的循环节是2～3个，但此题是6次为一个循环节，学生通常可以找到点P3，P4的坐标，但根据平常做题，发现前面四个点没有规律，就没有思路往下做.所以，对于规律题，如果循环节没有在2～3个出现，提醒学生要根据题意多找几个点或者多算几个数，再进行观察.

滚动旋转作为考查几何图形旋转变换的新题型，从以上四个类型的题目来看，体现出如下几个特点.

（1）能较全面地考查旋转的基本要素和基本性质.尽管滚动旋转的旋转中心在变化，旋转角度在变化，但是在每一次旋转的局部过程中，仍然能考查学生对旋转三要素和旋转的基本性质的理解和掌握程度.

（2）此类试题基本上都是以选择题或填空题的形式出现，虽然分值不高，计算量不大，但是多属于选择题或填空题中的压轴题，对学生图形分析、解决问题的能力要求较高.

（3）此类试题规律性明显，突出考查周期的知识.周期性问题既能考查学生观察、发现、归纳的能力，也可以为学生进入高年级的学习奠定重要的学习基础，因此历来都被命题者所青睐.

（4）滚动旋转问题的操作性很强.《义务教育数学课程标准（2011年版）》在关于目标的要求中明确指出：参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些经验；通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别与联系.数学操作性问题正好可以让学生体验数学活动，从而获得数学活动的经验.

在各地中考试题中，旋转本身容易出综合题.结合滚动的知识内容之后，方法就容易掌握，难度自然降低.特别是初中阶段一些非常重要的基本图形.例如，正三角形、直角三角形、正方形等.将其作为主要基本图形放入题目中，让学生读题、解题都有一种似曾相识的感觉.虽然解题门坎设置不高，但是对知识与能力的考查要求并没有降低，符合当下的命题理念.教师在指导学生备考复习时，可以借助全国各地区的中考试题，对其进行改编，让学生在创新的试题中提高解题能力.