读懂教材 整体建构——以“三角形的边”一课的教学再设计为例

（浙江省台州市玉环城关第一初级中学）

教材是教师教和学生学的主要依据，是教师进行教学的具体参考内容.如何准确地理解和把握教材，读懂编者的意图，创造性地使用教材，这是教师在教学过程中经常要思考的问题.但受网络资源的影响，多数教师依赖于现成教学资源的整合利用，缺少对教材内容的深度解读，有时并没有真正意义上领悟教材编者的写作意图，从而导致教学设计内容的深度和高度不够.下面以人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）“11.1.1三角形的边”一课为例，谈谈如何正确解读教材，进行整体性教学设计.

一、教材内容呈现方式

教材第十一章“三角形”主要研究了三角形这一最基本的几何图形的相关概念和性质.本章分三节：11.1与三角形有关的线段；11.2与三角形有关的角；11.3多边形及其内角和.“11.1.1三角形的边”是本章第一节课，主要讨论三角形的定义和三角形三边之间的关系.由于本节是章起始课，因此又承载着统领整章的使命.本节课的内容为三角形的定义，三角形的相关组成要素（边、顶点、内角）的介绍，三角形的记法，等腰三角形和等边三角形的定义，以及三角形的分类，三角形三边之间关系的探究和应用.

二、读懂教材，整体建构

1.读懂章引言，整体认识三角形

教材在章前图中展示了几张生活中具有三角形结构的实例图片，让学生在观察图片的过程中抽象出三角形这一基本几何图形，从而引出本章的学习内容.实例图片的运用提供给教学一个从具体到抽象的过程.在实际教学中，我们要充分领会章前图的作用，创设生动的生活情境引出课题，这样也可以激发学生的学习兴趣.

本章的章引言共三段文字：第一段指出生活中的许多物体采用三角形的结构是与三角形的性质有关，这向学生指出了学习本章的意义；第二段文字概括了本章的主要学习内容；第三段文字指出“三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础.本章将在学习三角形与有关的线段和角的基础上，学习多边形的有关知识”，这句话指出了三角形是最基本的几何图形，它是研究其他几何图形的“工具”，也就是学习本章的重要性.特别是第三段结尾处又指出“学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和方法”.几何教材呈现的研究之道一般按“背景（实际背景、数学背景）—定义（内含、表示）—分类（以要素为标准）—性质（要素、相关要素的相互关系）—特例（性质和判定）—联系（应用）”的逻辑展开，这个系统具有一般意义，是科学研究的基础.教师以此为依据设计课堂教学，并让学生反复经历这个过程，是“使学生学会思考”的关键之一.所以在本章教学中，尤其从本节课开始，教师要将这一思想逐步渗透.

章起始课具有宏观调控性，它为学生学习章节知识的框架和基本线索搭建了桥梁.在实际教学中，教师一定要充分关注章起始课的这一特点，充分发挥它的引领作用.

2.读懂教材，自然引出概念

此前，学生已经对三角形有了一定的直观认识，在前面又学习过线段、角、相交线、平行线等知识，他们的空间观念得到了进一步的发展，这都为学习三角形的有关内容奠定了坚实的基础和准备.但对于三角形的概念，学生缺乏一个准确的数学描述.从概念教学的角度来看，概念教学一般要让学生经历“感知表象—形成概念”的过程，而教材内容正是按这一规律设计的.基于教材的设计意图，我们可以在读懂教材、充分利用教材的基础上对教材内容进行再设计.可以通过看一看、接一接、辩一辩等活动，让学生在获得概念的同时，经历观察、思考、判断等丰富的机会及相应的活动.这样不仅可以强化学生对数学概念的理解性掌握，而且在获得知识的同时，也得到了归纳思维和抽象思维的熏陶.

3.读懂教材，正确介绍相关要素

三角形的相关要素有三角形的边、顶点、内角，还有三角形的记法.教材内容是按这个顺序呈现的，那么这个介绍顺序是否可以打乱呢？在实际教学过程中，我们很少想过这个问题，在教学时有先讲记法的，也有先讲内角的，基本不分先后，认为讲全就可以了.其实这个顺序是不可以调换的.有了三角形的概念，从概念当中便会发现组成三角形的最基本的要素是三条线段，即三角形的边，因此先讲边的概念，接着边与边相接处就是三角形的顶点，边与边又组成了三角形的内角.教材按边、顶点、内角的顺序进行介绍，有了这些基本要素以后，三角形的内容就充实了，自然地引出三角形的记法，体现了从局部到整体的认识事物的渐进性.

仔细研读教材，你会发现大到章节内容，细到段落文字都渗透着编者的特定意图.如果我们没有读懂教材，那么在教学中就不可能合理地设计教学内容.

4.读懂教材，体会分类的重要性

教材中对两个特殊三角形——等腰三角形和等边三角形进行定义后，安排了一个思考“如何按照边的关系对三角形进行分类呢？”，那么这块内容在本节课和整个三角形研究的体系中具有什么作用呢？联系章引言，深读教材，综观三角形整体内容和整个几何教学的脉络，我们发现这不仅仅是一块分类的教学，其实也呈现了几何教学的研究之道，遵循从“图形—定义—性质—特例—性质—判定”的研究.按照是否有边相等，将三角形分为两类：等腰三角形和三边都不相等的三角形.那么三角形中的一种特例就是等腰三角形，而等腰三角形中的特例是等边三角形，这为我们后续对等腰三角形和等边三角形的研究埋下伏笔.所以这部分内容对学生的后续学习具有指导作用.同时，如何正确地分类也是学生学习中的一个难点.因此，这也是本节课教学的重、难点所在.

5.读懂教材，注重性质的发现、归纳、推理过程

在教学“三角形两边的和大于第三边”这一性质时，教材安排了一个探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条路线可以选择？各条路线长有什么关系？能证明你的结论吗？仔细研读教材这段探究文字及后续的符号表示过程，发现教材的这种对学习内容的呈现方式，体现了几何研究从粗略到精细、从感性认识到理性认识逐步深化的过程.那么，怎样发现三角形三边的关系？性质如何得出？如何由符号语言归纳出文字语言？如何推理论证？这些都需要教师进行再设计，若引导不好、启发不当会导致学生缺乏思维，能力得不到提升.基于以上问题，笔者在本节课的教学中设计了一个活动、一个探究，帮助学生发现和归纳性质.

三、读懂教材，整体再设计

通过上述对教材的分析，结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求和学生的实际情况，笔者从整体上对本节课的教学进行如下再设计.

环节1：创设情境，引出课题.

问题1：观察如图1所示的一组图片，从图片中你能找出哪些几何图形？

图1

问题2：从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微小的分子结构，到处都有三角形的形象.为什么在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构呢？

问题3：图2中的几何图形为什么能镶嵌？这与图形的哪些性质有关？三角形的学习对研究其他图形有什么意义？

图2

【设计意图】问题1展示了一些生活中的实例图片，这是在教材章前图的基础上进行的再设计.为衔接问题2，把章前图的图片直接换成金字塔、房屋建筑、钢架桥、分子结构，这样过渡语更加自然.另外，从生活中的实例出发引出三角形的学习内容，既是为得出三角形的概念做铺垫，也是为本节课作为章起始课统领整章时章引言的得出做铺垫.

环节2：利用章引言，引出本章的学习内容.

（1）章引言.

三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础.本章将在学习与三角形有关的线段和角的基础上，学习多边形的有关知识，如借助三角形的内角和探究多边形的内角和.学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和方法.

（2）几何研究的“一般之道”归纳.

背景（实际背景、数学背景）—定义（内含、表示）—分类（以要素为标准）—性质（要素、相关要素的相互关系）—特例（性质和判定）—联系（应用）.

【设计意图】此处把章引言作为一个独立的教学环节，一方面，是本节课作为章起始课要起到章统领的作用，通过章引言的复述使学生明白本章的学习内容；另一方面，借此提出几何研究的思路和方法，为学生的学习指明一个方向，这也与后面小结中对这块内容的总结相呼应.

环节3：三角形的定义及其相关要素介绍.

（1）巧妙设置“问题串”，自然生成概念.

问题：从图1的图片中我们很快找到三角形的形象，组成三角形最主要的元素是什么？

接一接：现有三条线段，你能把它接成一个三角形的形状吗？

辩一辩：如图3所示这些接法可以吗？

图3

追问：由刚才的操作过程，你能说出三角形的定义吗？

【设计意图】为了更好地让学生理解三角形的定义，笔者将教材内容进行加工重组，加入了让学生“接一接”“辩一辩”的环节，而且从定义来看，首尾顺次相接也是一个动态的过程.因此，这个活动有助于加深学生对三角形的认识与理解.“辩一辩”的解答总结出定义中的三个要求，即①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接，让学生从理性的高度认识三角形，提高学生的归纳总结能力，从而顺利得出定义.

（2）归纳三角形的定义.

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

追问：如果把定义中的一个要求去掉，可以吗？

【设计意图】在回答问题的过程中，让学生体会三角形定义中的三个要求缺一不可，进一步加深学生对三角形的理解.

（3）从局部到整体认识相关要素.

三角形的相关要素包括：①三角形的边；②三角形的顶点；③三角形的内角；④三角形的表示方法；⑤三角形对边、对角的规定与表示.

【设计意图】组成三角形的要素是三条线段，所以先有边，边边相接处为顶点，再由边边相交成角，按照边、顶点、内角，再到表示方法依次介绍，体现从局部到整体的研究思路.

环节4：从一般到特殊，突破分类难点.

（1）从边来看，你知道哪些特殊三角形？

（2）按边定义三角形.

不等边三角形：三边都不相等的三角形；

等腰三角形：有两条边相等的三角形；

等边三角形：三条边都相等的三角形.

（3）我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，如何按照边的关系对三角形进行分类呢？

【设计意图】分类是学生学习的一个难点.学生容易把等腰三角形和等边三角形独立分类，而且不理解不等边三角形的定义.因此，在分类之前先理清这三个概念，这样才能更好地突破分类难点.

（4）三角形按边的分类整理.

追问：你认为在三角形的后续学习中，我们会研究哪些三角形呢？你知道几何图形研究的一般思路吗？

【设计意图】“几何研究之道”需要在课堂中慢慢渗透.在对三角形按边分类之后思考这个问题，可以帮助学生认识分类对三角形学习的意义，体会几何研究从一般到特殊的过程.

环节5：情境探究，归纳推理到得三边关系.

（1）活动设计.

现有长度为1 cm、2 cm、3 cm、4 cm、5 cm的5条线段，试着摆一摆，哪些线段能拼成一个三角形？

【设计意图】通过这个活动引发学生思考：为什么有些长度的线段不能组成三角形？这样既能锻炼学生的动手操作能力，又能培养学生的探究精神，为三边关系的顺利得出做铺垫.

（2）情境探究.

任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条路线可以选择？各条路线长有什么关系？能证明你的结论吗？

【设计意图】上述情境的设置是让学生从感性到理性认识三边关系，并能说出理由，培养学生的推理能力.

（3）归纳推理，得出结论.

对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如点B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得AB+AC＞BC.同理，有AC+BC＞AB，AB+BC＞AC.

思考：①如果改变△ABC的形状，这个关系式还成立吗？

②你能用文字语言归纳你的发现吗？

③如果将不等式进行移项变形，又可以得到什么结论？

【设计意图】通过上述3个思考题，让学生自己观察、分析、归纳、概括，获得对问题的认识，积累思维层面的经验.

（4）拓展应用，解决问题.

例用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形.

①如果腰长是底边的2倍，那么各边长是多少？

②能围成一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？

【设计意图】通过对例题的解决，巩固等腰三角形的相关知识和三角形三边关系的应用，培养学生的知识应用能力.

环节6：回顾·总结·提升.

（1）知识总结.

（2）几何研究的一般思路、方法.

【设计意图】这一环节由学生谈对本节课的认识，然后教师从对知识的总结自然过渡到对几何问题研究的一般思路和方法的总结，引导学生体会在已有知识的基础上，建构新知的方式及方法，使学生由“学会”到“会学”，实现能力的提升.

四、基于课例的思考

我们对教学内容所反映的数学思想方法的理解水平决定了理解数学的高度，同时也决定了教学所能达到的水平和效果，因此对教材的解读至关重要.读懂教材，首先要理解教材中呈现的学习内容的数学本质，明确这些知识的核心是什么；其次，要理解这些知识之间的相互关系，明白这些知识在数学中的逻辑地位和对学生发展的作用；第三，需要对教材从整体到局部进行分析，明确教学内容在课时、单元、章节，再到全书中承载的地位和意义.只有在深刻理解数学、读懂教材的基础上，才能对教材内容做合理的取舍，才能合理的设计教学内容，从而提高课堂教学效益.