借助模型，破解中考几何最值问题

（浙江省海盐县博才实验学校）

几何最值问题是中考中的热点试题，频繁出现在中考的选择题、填空题或解答题的压轴题位置，这类试题形式多样、涉及面广，常常让学生无从下手，是学生不易突破的难点.虽然练习题中经常出现这类题目，但是这部分知识的呈现比较零散，为此，笔者提炼了近几年中考中求几何最值的几个重要的模型，结合2018年典型的中考试题进行精析，总结了这些题型的解题思路和模型选择方法，供大家参考.

一、求几何最值的模型

（一）四个基本的几何模型

1.“垂线段最短”模型

若A为一定点，l为定直线，点P在l上运动，则点P动到哪里时AP最短？

如图1，过点A作直线l的垂线段AP，可得此时AP最短.

图1

这里根据“垂线段最短”可得，其模型特征为“直线外一定点+直线上一动点”.

2.“三角形三边关系”模型

（1）如图2，A，B是定点，P是动点，则点P运动到哪里时PA+PB最小？点P运动到哪里时PA-PB最大？

图2

当点P在线段AB上时，PA+PB的值最小，且等于AB长；当点P在线段AB的延长线上时，PA-PB的值最大，且等于AB长.

①当点A，B，P不共线时，根据“三角形两边之和大于第三边”，可得PA+PB＞AB.故当点A，B，P共线，且点P在线段AB上时，PA+PB的值最小；

②当点A，B，P不共线时，根据“三角形两边之差小于第三边”，可得PA-PB＜AB.故当点A，B，P共线，且点P在线段AB的延长线上时，PA-PB的值最大.

在实际解题中，题目会设置对动点P的另外一个要求.例如，动点P在某定直线上运动等，于是即可确定点P的具体位置.

（2）如图2，AP，BP是定长（设AP＞BP），A是定点，B是动点，则点B运动到哪里时AB最大？点B运动到哪里时AB最小？

当点B在线段AP的延长线上时，AB的值最大，且等于AP+BP长；当点B在线段AP上时，AB的值最小，且等于AP-BP长.

①当点A，B，P不共线时，根据“三角形两边之和大于第三边”，可得AB＜PA+PB.故当点A，B，P共线，且点B在线段AP的延长线上时，AB的值最大；

②当点A，B，P不共线时，根据“三角形两边之差小于第三边”，可得AB PA-PB.故当点A，B，P共线，且点B在线段AP上时，AB的值最小.

在实际问题中，题目会设置对点B和点P的另外一些要求，于是即可确定点P的具体位置，如后面的例4.

3.“将军饮马”模型

如图3，将军在军营从点A出发，走到河边饮马，然后再到河岸l同侧的B地开会，应该怎样走才能使总路程最短？

图3

图4

如图4，作其中一个定点A关于定直线l的对称点A′，连接A′B与直线l交于点P，则点P即为将军饮马的地点，AP+PB为最短路线，其路程等于线段BA′的长.

此问题是利用轴对称性质求线段和的最小值的经典模型，通过轴对称变换，化同侧为异侧，实现“折”转“直”（此模型也可以推广到“三折线”转“直”），将多条线段首尾相连转化到一条线段上，根据两点之间线段最短得解.

4.“定点与圆上一动点距离的最值”模型

如图5，P为一定点（圆外或圆内），动点A在⊙O上，则点A分别到达哪里时，线段PA取得最小值和最大值？

图5

如图6，作直线OP，得到直线OP与⊙O的近交点A1和远交点A2，易证不管点P在圆外还是圆内，点P到圆上各点距离的最小值都为线段PA1的长，最大值都为线段PA2的长.

图6

我们可以归纳得到以下结论：一定点到圆上各动点的连线中，该点到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短，远交点距离最长.此问题是和圆有关的求线段最值的经典模型，模型运用时要注意：定点可以在圆内，也可以在圆外，动点在圆（或弧）上运动，所求的是定点与圆（或弧）上一动点距离最小值和最大值问题.

实际上，很多问题中动点所在的圆并不直接给出，需要学生自己去构造，所以在分析动点位置变化时，要抓住图形中的不变量，如若发现动点到某定点的距离等于定长或者动点对定线段所成的张角是定角时，则要意识到此动点的运动轨迹是圆（或圆弧），这会对求最值起到决定性的作用.补充说明：当定点P在圆上时，是这个模型的特殊情况，运用以上模型也可以得出直径是圆中最长的弦，这个结论在求与圆相关的几何最值问题时也会用到.

（二）函数模型

很多中考中的几何最值问题需要运用代数知识求解，主要是通过建立函数模型来求解.建立函数模型求最值一般需要以下几个步骤：（1）选择自变量，确定自变量的取值范围；（2）求得函数解析式；（3）在自变量取值范围内利用配方或函数图象的最高点（或最低点），二次函数需结合顶点公式，求得函数的最大值（或最小值）.

有些几何最值问题会先让学生求出变量间的函数表达式，然后再让学生求变量的最值，这类问题很明显需要用函数模型解决，但是也有很多几何最值问题并没有给出求函数表达式的指令，对于此类问题，很多学生往往不知道应该选择何种模型.在实际的解题中，如果求的是一条线段的最值或是几条线段和（或差）的最值，那么首选是尝试套用上述四个基本的几何模型，但有时题目未必能够直接套用几何模型，那么可以先分析题目中和动点有关的数量关系，特别是一些变化过程中的不变量，通过数量关系的转化，将其化归为以上四个基本的几何模型，从而解决问题.若不能用几何模型求解，则可以寻找其中隐藏的函数关系，然后构建函数模型解决最值问题.

二、精析中考试题，破解几何最值问题

中考中的几何最值问题基本上可以借助以上的四个几何模型和函数模型解决，下面结合几道2018年典型的中考试题，侧重分析求几何最值问题的解题思路和模型选择方法.

1.借助基本几何模型

借助几何模型解题时，不但要熟悉以上四个几何模型及其成立的条件，还要对解决模型的根据进行深度理解，这样才能在不同的问题背景中直接套用或化归为这些模型，这样就可以找到动点到达哪里时取得最值，从而得到结论.

例1（天津卷）如图7，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）.

图7

（A）AB（B）DE（C）BD（D）AF

解析：此题在寻找点P到达哪里时可得AP+EP最小值时，发现其与“将军饮马”模型匹配，于是就可套用这个模型解决.

如图8，作点E关于BD的对称点E′（点E′在线段CD上），连接AE′，它与BD的交点即为要找的使PA+PE值最小的点P，PA+PE的最小值等于线段AE′的长，通过证明△ADE′≌△ABF即可得AF=AE′.

图8

例2（四川·泸州卷）在平面直角坐标系内，以原点O为原心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为点A，则PA的最小值为（ ）.

解析：如图9，虽然点A是圆上动点，但点P也是动点，所以不能用“定点与圆上一动点距离的最值”模型.考虑到点A为切点，联想到切线的性质，故连接OA，OP，这样就把线段PA放在了一个有一边长为定值的直角三角形中，由勾股定理可以把线段PA长转化为即可转化为求OP的最小值.因为点O为定点，点P是直线CD上的动点，所以求线段OP的最小值可以应用“垂线段最短”模型.于是作OH⊥CD于点H，则当点P运动到点H的位置时，OP达到最小，然后利用面积法可计算出OH的值为，即OP的最小值为，从而求得PA的最小值为.

图9

例3（山东·泰安卷）如图10，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）.

（A）3

（B）4

（C）6

（D）8

图10

解析：如图11，考虑到点O是直角三角形斜边上的中点，联想到直角三角形斜边上中线的性质，故连接OP，得到AB=2OP，那么求AB的最小值转化为求2OP的最小值.这里点O为定点，点P在⊙M上运动，故可以应用“定点与圆上一动点距离的最值”模型寻找使OP取得最小值的点P的位置.因此，连接OM与⊙M的交点就是要找的点P，易得OP最小值为OM-PM=5-2=3.所以AB的最小值为2OP=6.

图11

例4（江苏·南通卷）如图12，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O是BC中点，将△ABC绕点O旋转得△A′B′C′，则在旋转过程中A，C′两点间的最大距离是_____.

图12

解析1：如图13，先连接AC′，找不变的量，发现线段OC′的长度不变，若再连接OA，那么就把AC′放在一个两边长度为定值的三角形中，于是此题就可以应用“三角形三边关系”模型，可得AC′＜OA+OC′.故当点A，O，C′共线，且点C′动到线段AO的延长线上时，AC′的值最大且等于OA+OC′，计算得其值为此题也可以求A，C′两点间的最小距离，应用“三角形三边关系”模型得AC′＞OA-OC′.故当点C′动到线段AO上时，AC′的值最小且等于OA-OC′，计算得其值为

图13

图14

解析2：因为动点C′到点O的距离是定长，那么点C′的运动轨迹是以点O为圆心，2为半径的圆（如图14），于是可将问题化归为“定点与圆上一动点距离的最值”模型，因此连接AO并延长，得与⊙O的近交点E和远交点D，则当动点C′在点D处时，A，C′两点间距离最大.添加了辅助圆后，易知当动点C′在点E处时，A，C′两点间距离最小.

2.借助函数模型

（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；

（2）如图15（2），连接CE，当CE=EF时.

①求证：△OCE∽△OEA；

②求点E的坐标；

（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值.

图15

解析：求OE·EF的最大值，是求两个变量的积的最值，和四个基本几何模型都不匹配，故尝试借助函数模型来求解.构建函数模型的关键是选择合适的自变量，由于点C在线段OA上运动，圆的半径随之改变，从而导致线段OE，EF的长度也随之改变，所以选择圆的半径r为自变量.寻找OE·EF和r的函数表达式是此题的难点，发现EF很难用r的代数式表示，于是可尝试把OE·EF进行整体转化，由相似三角形对应线段成比例得到乘积式在相似中经常用到，故考虑构造相似三角形.

图16

此题是借助函数模型求最值的中考压轴题，选择合适的自变量很关键，难点在于需要添加辅助线构造相似三角形才能找出隐含的二次函数式，难度很大，但也是压轴题的常态.值得注意的是，中考压轴题中的几何最值问题在寻找函数表达式时常常会用到勾股定理或相似三角形的性质，这个对于寻求函数表达式很有方向指引作用.

三、结束语

几何最值问题涉及的知识点很多，常与三角形、四边形、圆、轴对称、平移、旋转、直角坐标系、方程、不等式及函数等知识联系在一起，涉及的数学思想方法也很多，其中函数思想、模型思想、化归思想尤为突出，因此备受命题者的青睐.分析近几年中考试卷中的几何最值问题，可以发现借助基本几何模型来求解的试题，一般放在填空题和选择题的压轴题位置上，而解答题的几何最值压轴题大概率是借助二次函数模型求最值.

几何最值问题是中考的难点之一，这不仅需要学生夯实与求最值有关的知识并熟练基本模型的建构，善于从复杂的、陌生的图形中分离或构造出基本模型，还要求学生对解题思路和模型选择的方法多反思、多总结，只有这样，才能灵活应对几何最值问题.