立足三个“吃透” 打造“完美”课堂——以“认识二元一次方程组”一课为例

（上海市岭南中学；河南省驻马店市第二初级中学）

究竟什么是“完美课堂”可谓众说纷纭，也很难有个明确的标准.但无论是知识传授上的完美，还是教与学方式完善上的完美，抑或是学生核心素养与发展学力培养上的完美，都离不开执教者面面俱到的精心备课、横拓纵掘的深入思考、因材施教的流程设计和得心应手的课堂组织.换而言之，教师若在教材、学情和教法上做到“三个吃透”，完美课堂方能得以有效实施.那么，怎样才能做到“三个吃透”呢？下面笔者结合李栓红老师所执教的“认识二元一次方程组”一课谈几点学习体会，以求抛砖引玉.

一、教材分析与教学实录

（一）教材分析

“认识二元一次方程组”选自北师大版《义务教育教科书·数学》（以下统称“北师大版教材”）八年级上册第五章第1节第1课时.该节课的教学目标主要是从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流等活动，认识二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，并在教学过程中，突出建模思想，使学生逐步认识到建立方程（组）是解决实际问题的基本途径之一，逐步培养学生的类比分析和归纳概括能力，渗透变与不变的辩证统一思想.

教学重点：认识二元一次方程及二元一次方程组的概念，并运用它们初步解决实际问题.

教学难点：从实际问题中建立二元一次方程组模型，领悟方程思想.

（二）教学实录

1.以史激趣，引入新课

教师利用幻灯片出示“鸡兔同笼”问题的相关图片和题目：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

然后教师详细介绍最早记载于一千五百多年前的《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题的发展过程和趣味性，并要求学生列方程求解.

生1：设鸡有x只，则兔有(35-x)只，根据题意，得2x+4(35-x)=94.

生2：设鸡有x只，兔有y只，根据题意，得x+y=35，①和2x+4y=94，②.

师：同学们，生2所列的两个方程和一元一次方程有什么不同？

生：都含有两个未知数.

师：对.这就是我们今天要学习的“二元一次方程”.

教师板书课题“认识二元一次方程组”.

2.创设情境，生成概念

（1）探求二元一次方程的概念.

情境：老牛：“累死我了！”小马：“你还累？这么大的个，才比我多驮2个”.老牛：“哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！”小马：“真的？”问：它们各驮了多少包裹呢？

师：同学们，你能解决小马的困惑吗？

生3：设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，根据题意，得x-2=y，③，和x+1=2(y-1)，④.

师：请同学们仔细观察上述①②③④四个方程有什么共同特征？

生4：它们都有两个未知数，并且未知数的指数都是1.

生5：应该是所含未知数的项的次数为1.

师：那么未知数的指数与所含未知数的项的次数意义相同吗？请举例说明.

生6：不同.例如，在6xy=7这个方程中，6xy这一项的次数为2，但这一项中x，y的指数均为1.

师：生6帮我们重温了项的次数与未知数的指数的区别，那么什么叫做二元一次方程呢？

生7：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.

（2）探求二元一次方程组的概念.

问题：在根据上述情境所列的二元一次方程x-y=2和x+1=2(y-1)中，x所代表的意义相同吗？y所代表的意义相同吗？

【说明】由两个方程中x，y均分别表示老牛驮的包裹数和小马驮的包裹数，引出二元一次方程组，再通过具体实例引导学生观察归纳出二元一次方程组的概念.

师生互动：每名学生写出一个二元一次方程组，并在同桌之间交流、研讨，判断对方所写方程组是否也属于二元一次方程组.2分钟后，教师抽取出下列四个有争议的方程组进行了研讨，并得出方程组（1）（3）是二元一次方程组，而方程组（2）（4）不是二元一次方程组.

（3）探求二元一次方程（组）解的概念.

问题1：x=3，y=1适合方程x-y=2吗？x=7，y=5呢？你还能找到适合方程x-y=2的一组x，y的值吗？你是怎样确定的？

问题2：x=7，y=5适合方程x+1=2(y-1)吗？适合该二元一次方程的未知数x，y的值的个数有多少？

问题3：你能找到一组同时适合x-y=2和x+1=2(y-1)的x，y值吗？如何确定？还能找到另一组同时适合这两个方程的未知数的值吗？

【说明】对于问题1，2，经过尝试，每名学生都能找到一组使方程成立的未知数的值，而且不同的学生所找未知数的值不尽相同，学生初步感受到二元一次方程有无数组解；至于问题3，学生经过尝试，找不到第二组适合两个方程的公共解，初步感受到二元一次方程组只有一组解.学生进而明白在解决含有两个未知量的实际问题时，如果设两个未知数，列一个方程无法解决问题，需要列二元一次方程组处理.随后教师进一步通过问题驱动，引导学生归纳二元一次方程和二元一次方程组的解.

3.随堂练习，巩固提高

练习：某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划播放长度为15秒和30秒的两种广告.若要求每种广告播放不少于2次.那么两种广告播放次数有几种安排方式？

【说明】有学生用假设法找到了答案，有学生列出二元一次方程，通过求整数解来解决问题.但学生容易忽略“每种广告播放不少于2次”这一条件.在这里，强调读题、审题对解决问题也至关重要，再引导学生进行解法的优化选择.

4.课堂小结，反思提升

师：同学们，经过一节课的学习，你有什么收获，还有什么困惑？

生8：二元一次方程x+y=0，2x+2y=3构成的方程组为什么没有解？

生9：既然那么为什么不是二元一次方程？

师：生9提出了一个很有价值的问题，大家课后不妨查阅资料，深入探究这类方程究竟是不是二元一次方程.另外，也不妨思考一下：二元一次方程组在什么情况下无解？

二、课例点评

笔者在反复观摩李老师所执教的“认识二元一次方程组”一课的视频后，对如何打造完美课堂有一些深入的思考，主要体现在以下三个方面.

1.吃透教材是打造“完美”课堂的基石

吃透教材除了对常规的“教学目标与重、难点的确定”“对教学内容的地位与作用的分析”和“教学过程的精心设计”外，还要从细节入手，着重挖掘每个选材的隐性意义，为科学设计和有效组织课堂教学奠定坚实的基础.

（1）吃透教材所蕴含的课程理念.

新课程理念强调：从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.仅就二元一次方程组的概念生成而言，北师大版教材借助“老牛小马驮包裹”问题引入，并由“公园门票”问题展开教学，正是基于这两个问题均是学生所熟悉的实际生活情境，且易于被接受和理解，从而也有利于学生建立相应的数学模型（即列方程）.执教教师当然也深谙其中所蕴含的课程理念，并进行了大胆尝试——以学生早已熟悉的“鸡兔同笼”问题引入，并借助“老牛小马驮包裹”问题展开概念教学，主要用意在于减少学生阅读理解问题情境所花费的时间，使课堂尽快进入概念教学的主题，大大提高了课堂效率；更重要的是便于学生重现小学算术解法和七年级列一元一次方程解法，凸显了两者与列二元一次方程组解法之间的本质联系，为运用消元思想解二元一次方程组做好铺垫.（因为代入消元法其实就是把二元一次方程组转化为一元一次方程，因此把两者同时呈现并引导学生观察，必然能启发学生联想到“消元”解方程组的转化策略.）

（2）吃透教材所隐含的实用价值.

数学教材是专家经过反复斟酌和层层审核才通过并交付使用的，因此每个选材（每一句话、每一幅图、每一道例题或习题等）都凝聚着编者的心血与智慧，除了显性的知识价值外，还有众多潜在的隐性功能.因此，教师对教学内容的取舍一定要三思而后行，多揣摩专家为什么这样选？它的潜在功能是什么？否则难免会留下遗憾.本节课中，执教教师弃用教材中“公园门票”问题而改为“鸡兔同笼”问题的做法就值得反思.换，没问题；但弃用就值得商榷.其实编者之所以选用“公园门票”问题主要有背景生活化和能力实用化两个方面的考量，有就地取材又学之即用的亲切感和成就感，凸显了“数学来源于生活，又服务于生活”的新课程理念；而“鸡兔同笼”问题则更注重熟悉性和趣味性，显然不能完全取代“公园门票”问题的潜在价值（但选用“鸡兔同笼”问题也有一定的合理性和科学性，见上）.本节课中，不妨用“公园门票”问题替换课堂练习中的“广告插播”问题，因为后者既不实用又明显超纲（其实“广告插播”问题的本质是不等式的整数解问题，而非方程问题）.另外，双替换（用“鸡兔同笼”问题替换“公园门票”问题，再用“公园门票”问题替换“广告插播”问题）的设计既体现了编者意图，又避免了超纲之嫌，而且保留了教师的合理创意，课堂容量的隐性效率自然也就得到了有效保障，可谓一举多得.

（3）吃透教材所隐含的育人功能.

一提到数学教材的育人功能，常规的关注点往往都落在数学史和民族教育上.其实，实际问题背景的选材与创设也能很好地体现德育渗透式的育人功能，精心设计往往能起到“润物细无声”之妙.北师大版教材创设的“老牛与小马相互抱怨”的情境中，若把两者的身份与语言互换则可收获奇效，体现出尊老爱幼的传统美德.试设想一下，若把“老牛小马驮包裹”问题情境改创如下：小马见老牛驮着沉重的包裹走起来有点吃力，就主动说：“老牛，您驮得太多了，把背上的包裹分点给我吧.”老牛说：“你还小，不能驮太多包裹.再说我只比你多驮2个，不算多.”小马着急地说：“从我背上拿1个包裹给您，您的包裹数就是我的2倍了，还不算多？”那给予学生的正能量又该多大呀！

遗憾的是，执教教师既未对此做出及时修正，也未曾用语言做出正确引导，错失了“拨乱反正”的大好时机，也给打造“完美”课堂留下一丝淡淡的遗憾.

2.吃透学情是打造“完美”课堂的保障

吃透学情主要包括吃透学生的认知基础、认知状态和认知能力，并把三者进行有机的整合，为打造“完美”课堂提供有力保障.

（1）吃透学生的认知基础.

在认知基础上，学生已掌握运用一元一次方程解决简单的实际问题，为学习二元一次方程（组）储备了必要的知识与经验.因此，面对“鸡兔同笼”问题，执教教师并没有仿照教材那样直接设两个未知数列出二元一次方程，而是先放手让学生解决，当学生列出一元一次方程后，再追问“还有其他列方程处理问题的方法吗？”待学生列出两个二元一次方程后，又追问“你是怎么想到的？”，意在引导其他学生也体会到对于含有两个未知量的实际问题可列二元方程组求解，使学生不仅知道“怎样做”，还知道“在什么情况下这样做”，从而拓宽学生处理实际问题的思维深度与广度，从学法指导的角度强化学生的学习力.

（2）吃透学生的认知状态.

从课堂上学生不断能心领神会地回答出执教教师所设置的一些开放性（甚至指向不明）的问题，可知执教教师对学生的认知状态早已胸有成竹，教学组织与问题驱动也就更加得心应手.例如，依据两个实际问题情境列出x+y=35，2x+4y=94，x-2=y和x+1=2(y-1)四个方程后，教师提问“观察这四个方程，你认为它们有什么共同点？”，显然该问题的开放度较大，学生完全可能归纳出“系数都是整数”“系数均不超过10”“化简后每个方程都只有三项”等一些与二元一次方程概念关联性不大的非典型性特征.如此一来，课堂教学效率必将大打折扣.但正是执教教师对学生认知状态的胸有成竹，不会发生节外生枝的预知，课堂教学才得以有序开展，效率自然也就得到切实保障.当然，学生能回答出教师想要的答案，还是要归功于在教与学的长期磨合与不断融会中师生已形成一定的默契，更与执教教师长期对学生学习习惯和思维方式的训练培养密不可分，真可谓“知己知彼，方能有问有答”.

（3）吃透学生的认知能力.

学生对新知的认知能力除了常规的理解与应用外，还包含感悟新知的生成过程，解读新知的潜在内涵和挖掘新知的横向联系等.教师只有充分吃透学生在这些方面的潜在能力，积极做好有效预案，才能从容应对课堂生成.从整体上看，执教教师对学生的认知能力有足够的认识，也能进行有效的掌控，但由于没有吃透学生对知识的横向联系的能力，造成应对课堂生成时有两次明显的失误，影响了本节课的“完美”观感.

其一，在生成和剖析二元一次方程组概念后，执教教师让学生举出一些二元一次方程组的实例，课堂“意外”就此生成.

显然，造成上述两个局面的主要原因在于执教教师没有吃透学生的认知能力，没有预设到学生会把二元一次方程（组）与绝对值，或无理式联系在一起，从而也就缺乏应对策略，引起尴尬的同时课堂效率与“完美”观感自然也就打了折扣.

3.吃透教法是打造“完美”课堂的润滑剂

吃透了教材，也吃透了学情，但若没有科学的教学方法来融合与助推，“完美”课堂也就难免成为一种美好的愿景.好在执教教师深谙其中的道理，在课堂教学设计与组织中把近年来的各种流行教法（问题驱动、先学后教、小组合作等）演绎得精彩纷呈，其中有两点较为突出.

在形式上，力求突显“创设问题情境—建立数学模型—突出应用与发展”的概念教学模式.通过问题驱动，引导学生在自主探索和合作交流的过程中建立二元一次方程的数学模型，逐步掌握基础知识和常规方法，使学生形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高学生解决问题的操作能力，感受数学学习的乐趣，增进学好数学的自信，获得对数学较全面的体验和理解.教师力求将讲授法与学生自主探究学习有效融合，彰显教与学的完美统一.

在内容上，学习二元一次方程（组）离不开由一元一次方程的类比迁移，执教教师对此也有深层理解和大胆尝试，并取得了可喜的效果.新课伊始，通过列一元一次方程解决“鸡兔同笼”问题切入，唤醒学生对一元一次方程相关知识的理解与识记，为类比学习二元一次方程（组）相关知识做好铺垫.从课堂教学实践来看，无论是二元一次方程（组）概念的生成、解的定义与验证，还是运用二元一次方程（组）解决实际问题的思维过程，执教教师总巧妙地引导学生类比一元一次方程的处理方式，力求做到“完美”的迁移.应当指出的是，学生在观察x+y=35，2x+4y=94，x-2=y和x+1=2(y-1)四个方程后，直接得出“含有两个未知数”“含未知数的项的次数是1”和“整式方程”的二元一次方程三大特征，就是基于一元一次方程的认知基础上类比迁移而得，这当然要归功于执教教师所创设的迁移学习情境.

虽然教学方法众多且教无定法，但根据教学内容选择科学的教学方法必然能在生本、生生和师生之间起到高效的润滑作用，有利于教与学的有机融合与完美统一.

当然，课堂教学是一门遗憾的艺术，要实现真正的“完美”并不现实.换言之，打造“完美”课堂只是追求高效课堂或好课的一种境界.教师若在教材、学情和教法上力求做到“三个吃透”，则这种境界的艺术性和层次性必然能上升到另一番境界.