高中数学必修教材中数学史内容的比较研究*——以人教A版和北师大版为例

☉太原师范学院数学系 王保红

☉太原师范学院教师教育学院 郭甜甜

☉太原师范学院教师教育学院 陈梦瑶

一、问题提出

《普通高中数学课程标准（实验）》中明确提到：“数学课程应适当介绍数学发展的历史、应用和趋势”，“要在高中数学教材及数学教学过程中渗透有关数学史的内容”.新修订的《普通高中数学课程标准（2017年版）》凝练了学科核心素养，强调“将数学文化融入教学，有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养.”显然新旧课标都提倡将数学史与数学文化有效融入数学教学之中.数学教材是数学课程标准得以落实的重要承载体，是实施课堂教学最重要的保障和资源.近年来，HPM（History&Pedagogy of Mathematics，数学史与数学教育）领域已经对数学教材中的数学史和数学文化内容进行着积极的探索.正如汪晓勤教授指出的“人们在探讨数学史与数学教育之间关系的时候，关注较多的是教学三角形的其中两个顶点——教师和学生，而对于第三个顶点——数学课程却较少涉及.事实上，‘数学史融入数学教材’已成为HPM的重要课题.”

通过对现有文献的研读发现，针对高中数学必修教材中的数学史相关研究主要有：（1）对数学史融入高中数学教材的呈现方式及运用方式的研究和分析；（2）对数学史融入高中数学教材课程的理论探究和教学实践探究；（3）对高中数学教材中某一知识点融入数学史的教学进行探究；（4）对现行教材中的数学史内容进行比较研究（包括我国教材之间及国内外教材之间的比较）.本文选取现行教材中的人教A版和北师大版高中数学必修教材，对其中的数学史内容进行对比研究，以期丰富第（4）类研究并从中得到一些建议和启示.

二、高中数学必修教材中数学史内容的比较

1.两版教材中数学史的内容分布

针对人教A版和北师大版高中数学教材，按照两版必修1-5共十本教材中数学史内容的呈现章节、页码、位置、内容进行统计分析（见表1）.

表1 人教A版和北师大版高中数学必修教材中的数学史内容统计表

整体来看，人教A版必修五本教材中数学史内容共有42处，每册出现的次数分别为5，9，16，3，9，平均每册出现8.4次，必修3中出现的次数最多为16次，占数学史总量的38.1%.北师大版必修五本教材中数学史内容共有35处，每册出现的次数分别为6，4，14，3，8，平均每册出现7次，必修3中出现的次数最多有14处，占教材数学史总量的40.0%.具体情况见表2.因此，人教A版中的数学史内容多于北师大版教材中数学史内容，且都是必修3，即对应的“算法初步、统计与概率”模块融入的数学史最多.

表2 人教A版和北师大版高中数学教材中的数学史按册统计表

其次，两版教材中数学史内容呈现的位置均是阅读部分最多；在例题、习题及复习题中的数学史总量北师大版多于人教A版，可以看出北师大版更加注重数学史的应用；从数学史内容看，两版教材都重视介绍核心概念的发展历史和其中所体现的数学思想方法，例如，两版教材中都介绍了“函数”这一核心概念的发展，都介绍了“解析几何”涵盖的直角坐标概念及它所体现出的数形结合的数学思想方法，都试图通过对核心概念进行历史介绍使学生提高学习兴趣，这也是近年来数学教科书的编写理念的重大转变——越来越顾及学生的学习心理，也越来越注重构建学习过程.

2.两版教材中两处典型数学史内容比较分析

表1显示人教A版和北师大版相同章节出现的相同数学史内容有7处，为“函数概念的发展、对数的发明（北师大版包含在“历史上数学计算方面的三大发明”）、笛卡儿与解析几何、刘徽割圆术、历史上有人做过的掷硬币试验、海伦—秦九韶公式、赵爽弦图”，但是呈现的内容和角度有差异.考虑到前文分析两版教材阅读部分呈现数学史最多，都注重对核心概念进行历史介绍，且在算法章节中数学史最多，故选取两版教材中典型的“对数的发明”、“刘徽割圆术”进行比较分析.

（1）“对数”是高中学习核心概念的一大重难点，对融入的“对数的发明”这一数学史内容进行比较分析.

人教A版呈现“对数的发明”路径：

北师大版呈现“对数的发明（历史上数学计算方面的三大发明）”路径：

人教A版还原的内容详细，叙述较完整，图文并茂，便于读者从历史的角度了解对数的概念和发展，且最后提出启示；北师大版教材不仅讲述了对数，还介绍了另外两个关于数字计算的发明.对比发现，人教A版更注重数学史的应用性，避免“为史而史”，更好地发挥了数学史作为阅读材料的教育功能.北师大版给出了较为丰富的知识，强调历史的传承，但是史料内容都以文字叙述，且只是简单罗列，未涉及更深层次的内容.近年来数学史融入数学教材正不断从“史学形态”向“教育形态”转化，其根本目的在于发挥数学史的教育功能，更好地服务于数学教学.故从教育价值出发，更加提倡使用人教A版注重学生数学理解的方式融入数学史.

（2）两版教材“算法初步”章都出现了“刘徽割圆术”，对这一数学史内容进行比较分析.

人教A版呈现“刘徽割圆术”路径：

北师大版呈现“刘徽割圆术”在习题中，短短一句“查阅中国古代数学家刘徽割圆术求圆面积的有关资料，使用语言描述这种算法”，没有呈现的路径.

图1 人教A版“刘徽割圆术”

人教A版中的内容以“阅读与思考”的形式出现，可以起到知识扩展的作用，让读者了解“割圆术”和我国古代在圆周率发现过程中所做出的贡献，醒目地插入了作者图像，并介绍他的伟大贡献（如图1左），不仅使学生意识到圆周率数值的来之不易，还可以让他们从中感受我国学者的伟大，体会民族自豪感，并且将所学知识与现代信息技术相结合（如图1），让学生感受到现代信息技术的力量，且潜移默化数学建模核心素养；北师大版以习题的形式出现，和教学进行了接轨，可以使学生在课后进行知识扩展，结合所学进行思考，有利于学生进行思维的发散，对激发学生兴趣有一定作用.

三、结论与启示

以往对初中数学教材中的数学史研究中指出，应当丰富教材中数学史的呈现方式、注重教材中与概率和几何相关的数学史内容还原、注重学情分析.这些结论对高中数学史内容的分析仍有借鉴的价值.义务教育阶段更强调吸引学生、激发学生学习动机，引领学生学习，高中数学史的呈现不仅要顾及这些情感态度，更重要的是引发学生思考，体现一定的数学素养.本文对两版高中数学教材中数学史内容的比较分析，得出以下结论与启示.

（1）凸显数学史的史学特征，充分发挥其教育价值.

据上文分析两版教材的数学史内容，倾向于人教A版的融入模式，注重学生思考，注重在材料中为学生提出启示，从“对数的发明”和“割圆术”的分析中更加突出.数学问题设置是数学史“史学形态”转化为“教育形态”的“问题化”实践路径的策略之一.故在数学史融入教材过程中，应关注数学史料的纵向衔接来设置问题，注重数学思想的培养，充分发挥数学史的教育功能.

（2）利用数学史融入数学教材促进数学核心素养的落实.

新课标凝练的数学核心素养是高中数学课程的统领，数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析是数学思想的核心，是实现“立德树人”目标的必要保障.故可以在呈现数学史时“借鉴古代数学家的思想与智慧，应用图说一体、几何模型和经典反例等实例来提高学生从直观想象到推理论证和理解的能力，以逐渐培养学生的直观想象素养”.如人教A版“刘徽割圆术”采用了文字与图片相结合的方式，清晰陈列了割圆术的发现过程，可以有效培养学生直观想象核心素养，其中还将数学史与现代信息技术相结合，体现了数学建模核心素养.因此，在数学教材中有效融入数学史可以培养和提高中学生的数学核心素养.