高中数学教材习题综合难度研究*——以人教A版“统计与概率”为例

☉广西师范大学数学与统计学院 秦 乐

☉广西师范大学数学与统计学院 周 莹

一、问题提出

波利亚曾强调指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”、“掌握数学就是意味着善于解题”，这充分说明了习题在教学中的重要地位.教材习题是检验学生知识掌握程度与数学能力高低的主要手段，其数量、难度等特征在很大程度上体现并决定了数学课程的深度.新课程改革以后，我们国家增强了“统计与概率”部分的地位，将“统计与概率”作为与“数与代数”、“空间与图形”同等重要的地位贯穿于数学教学的始终.因此，本文通过探究普通高中课程标准实验教科书人教A版数学3（必修）“统计与概率”部分习题难度编制的一般性规律，以期为教师科学有效地分析并利用习题、提高数学教学的质量和效率提供参考与借鉴.

二、研究设计

（一）研究内容

选取普通高中课程标准实验教科书人教A版数学3（必修）中“统计与概率”部分的习题（以下简称：教材）作为研究样本，以修订后的习题综合难度模型为基础，采用定量研究法对教材中习题的难度进行定量分析，通过对数据进行描述性统计和推断性统计，以得到教材中习题难度的基本特征数据，从而对教材中的习题难度进行分析.

表2-1 修订后数学习题难度因素中各等级水平划分情况

（二）研究工具

本文将王建磐教授和鲍建生教授的修正版习题综合难度模型和张怡改进版的模型相结合，最终采用结合后的模型对习题进行难度研究.

2002年—2014年期间，华东师范大学王建磐教授和鲍建生教授设计并不断修正了“习题综合难度模型”，修正后的习题难度因素分别为背景、数学认知、运算、推理和知识综合.此后，有部分学者继续对修正后的模型进行优化.例如：张怡在其论文《综合难度系数模型在2016年高考数学试题评价中的应用》中，在原有五个难度因素的基础上加入了“思维方向”因素（划分为“顺向思维”和“逆向思维”两个等级水平），并把背景要素修订成“有参数”与“无参数”两种.

在研究教材习题难度的分析中，关注点更为集中于习题的背景、呈现方式以及学生的思维方向.因此，本文在五个难度因素的基础上增加“思维方向”这个因素，采用修订后的模型对习题进行难度研究.修订后的模型中难度因素中各等级水平划分情况详见表2-1.

然后，利用下面的公式计算每组题目在每个因素上的加权平均：

di（i=1，2，3，4，5，6）依次代表的是“背景”、“数学认知”、“运算”、“推理”、“知识综合”与“思维方向”之难度要素加权平均值；dij是第i个难度要素之第j个水平之权重；nij是代表该组题目里面归属第i个难度要素之第j个水平习题的数目，n是题目总数.

通过对教材中习题在六个难度要素下的分析来确定相应的等级水平，再借助等级权重，利用公式2-1求出题目中各个难度要素的加权平均值，进而获得题目难度系数的六边形模型.

三、习题难度的统计与分析

本文基于修订后的模型对教材中的习题难度进行研究.以下随机选取教材中的一道习题来说明利用此模型分析的步骤：

例 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）

A.对立事件 B.互斥但不对立事件

C.不可能事件 D.以上都不对

此题选自教材121页练习题第5题（视为1道习题），它在模型中六个难度因素方面的等级水平分别是：个人生活、概念、无运算、简单推理、两个知识点、顺向思维.

依据上述分析过程，对六个难度要素中的习题数量予以统计分析，见表3-1.

表3-1 教材中习题数量统计表

基于上面的数据，分别从以下六个方面：背景、数学认知、运算、推理、知识综合以及思维方向，对教材中的每题都进行了统计分析，接下来再利用习题综合难度模型对教材中的习题的综合难度加以研究.

（一）背景因素

背景因素下的等级水平分为：无背景、个人生活、公共常识、科学情景.

图3-1 背景因素中各等级水平习题所占比例

该数据表明，教材中的多数习题都在特别的情境下提出，对学生分析、解决问题的能力都提出了较高的要求，背景因素所反映的习题难度相对较高；但是无实际背景的习题依然占据一定的比例，说明教材中的习题重视考察基本知识的掌握情况；科学背景的习题最少，说明数学与科学文化知识联系的不是十分紧密.

（二）数学认知因素

数学认知因素下的等级水平分为：操作、概念、领会-说明、分析-探究.

图3-2 数学认知因素中各等级水平习题所占比例

经分析发现，在数学认知因素方面，属于“概念”水平的习题所占比例超过50%，这是由于教材中的习题更注重培养学生对数学概念、定理等基础知识的掌握，大部分习题都是教材内容的再现，考查学生对教材零碎知识的掌握情况.

（三）运算因素

运算因素下的等级水平分为：无运算、数值运算、简单符号运算、复杂符号运算.

图3-3 运算因素中各等级水平习题所占比例

在运算水平上对于习题的数值运算占的比重非常大，这说明在教材的编写方面，习题的设置非常重视学生的基本计算能力的培养，体现出高中数学课程对数学基础能力的重视.由于“统计与概率”部分出现的数据较多，因此属于“简单符号运算”和“复杂符号运算”的习题数量甚少.

（四）推理因素

推理因素下的等级水平分为：无推理、简单推理、复杂推理.

图3-4 推理因素中各等级水平习题所占比例

由数据可知，“无推理”的题目和含有“简单推理”的题目所占比例大致相同，含有“复杂推理”的题目所占比例最少，这使教材中的习题在推理水平上的总体难度相对较低，侧面反映出教材比较重视培养学生的简单推理能力.

（五）知识综合因素

知识综合因素下的等级水平分为：单个知识点、两个知识点、两个以上知识点.

图3-5 知识综合因素中各等级水平习题所占比例

通过对数据的观察，不难发现教材中以单个知识点的习题为主，从多个角度对某个知识点进行考查，即考查对知识的记忆程度，“知识堆砌”现象明显，习题的“知识综合”难度相对较小.

（六）思维方向因素

思维方向因素下的等级水平分为：顺向思维、逆向思维.

图3-6 思维方向因素中各等级水平习题所占比例

此数据说明“统计与概率”部分的习题以顺向思维题目作为考查重点，学生能够通过顺向思维完成题目是学生熟练掌握基础知识的重要表现之一，因此表明“统计与概率”部分的习题重视学生基础知识的掌握情况.

四、习题综合难度分析

根据六个难度因素对习题难度的等级水平进行划分，但无法得出习题的总体难度.为应对该难题，依照表4-1内不同难度因素对应的加权平均值，即可得出习题总体难度的六边形模型（如图4-1所示）：

表4-1 各难度因素的加权平均值

图4-1 教材中“统计与概率”习题综合难度雷达图

从上图可以得出，教材中的习题在六个难度因素上不太平衡，较为明显的是“思维方向”，教材里面的“统计与概率”部分的习题主要属于顺向思维题目，逆向思维题目较少，这表明教材侧重考查同学们的基础知识.总体而言，“背景”、“数学认知”和“运算能力”的综合难度相对较高，“推理能力”、“知识综合”和“思维方向”的综合难度相对较低.

五、结论与思考

（一）结论

第一，习题背景设置“生硬化”.教材中的大部分习题以一定的背景作为基础，虽然“个人生活”背景的习题占大多数，但教材中也出现了部分生硬编造习题背景的情况，特别是很多习题的背景与学生的学习内容没有太多具体的关联，甚至是脱离其生活实际，这样为了编造而编造的问题情境不仅无益于学生更好地理解习题，而且容易妨碍到学生对于数学的认知.

第二，习题与知识点的联系“碎片化”.教材中习题的编排侧重于能够更好地理解数学的概念性知识，且主要以涉及一个知识点的习题为主，体现出教材侧重对学生“基础知识”、“基本技能”的考查；“分析-探究”水平的习题以及含三个及以上知识点的习题所占的比例都较少，说明教材中习题的综合性不是很强，这样会导致学生对该章节的知识结构欠缺整体的把握.

第三，习题的思维方向和推理水平“单一化”，对习题的综合难度的影响不是十分显著.教材中需要“复杂推理”的习题占极少数，说明教材中的习题对学生的逻辑推理能力要求相对较低；其次教材中主要以“顺向思维”水平的习题为主，说明顺向思维是“统计与概率”部分习题考查的重点，但同时也说明了教材中的习题在“思维方向”上的难度系数略低.综上表明，仅仅依赖于教材中的习题来培养学生的逻辑思维能力比较困难.

（二）教学建议

1.习题导向生活化，彰显数学学科的应用价值

目前新课程标准改革后，更加重视习题背景的设计，因此，在教学过程中，教师应善于对教材中的习题背景进行弹性改造，在注重知识的逻辑关系的同时，尊重生活实际，充分体现数学与经济、科技和现实生活的紧密联系，一方面有助于激发学生的学习兴趣和学习欲望，使学生充分体验“学习对生活有用的数学”；另一方面，为学生解决现实中的数学问题提供知识背景与“脚手架”，有利于学生逐渐认识到数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.

2.习题设置系统化，建立科学的学科知识体系

在教学过程中，教师需有意识地引导学生构建知识点之间的联系，例如，教师可以着重在知识点的交汇处增设习题，并要求学生总结每道习题的知识点，寻找习题中的知识量与自己已有知识量之间的差异，以此方式来加强学生有效整合“碎片化”习题的意识，培养学生对知识体系的把握.此外，教师还可以利用“思维导图”等方式帮助学生建立数学学科的知识体系，增强知识点之间的联系和衔接，从而增强学生对“统计与概率”部分知识点的整体把握.

3.习题变式梯度化，注重数学核心素养的落实

加强学生数学核心素养的培养是一个长期的过程.在“统计与概率”习题讲解的过程中，教师应注重引导学生运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，以培养学生的数据分析能力.其次，在教学过程中，应基于数学核心素养实现习题再设计，将部分习题进行适当的梯度化变式，使学生逐渐学会有逻辑的思考问题，逐渐掌握逻辑推理的基本形式，同时，教师应着重传授一些与数学学科相关的比较与分析、推理与判断的方法与技巧，如归纳、演绎等逻辑思维方法，这样有利于学生对数学的概括性知识进行梳理、整合与内化，进而达到发展学生数据分析、逻辑推理等核心素养的目标.