反例在中学数学中的构造

王雯

摘 要 在数学研究中， 构造反例研究问题是非常重要的， 它在数学研究以及数学教学中有着重要的地位和作用. 本文对反例的基本内涵进行了简要介绍， 并深入讨论了反例的构造原则、构造方法， 希望能将反例的构造方法应用于实际教学中。

关键词 反例 数学教学 构造方法 构造原则

中图分类号：G424                                 文献标识码：A  DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.10.082

Abstract In mathematics research， it is very important to construct counterexample research problems. It has an important position and role in mathematics research and mathematics teaching. This paper briefly introduces the basic connotation of counterexamples， and deeply discusses the construction principles and construction methods of counterexamples; hope that the construction method of the counterexample can be applied to the actual teaching.

Keywords counterexamples; mathematics teaching; construction methods; construction principles

1 介绍

在逻辑学中，反例是相对于某个全称命题的概念。而命题则由条件与结论两部分组成。无论是在生活中还是数学学科以及自然科学中中，反例都有重要的应用。在数学中，反例可以用来说明一个命题是假命题，关键在于这个例子的特征，它必须满足该命题的条件，但是不满足该命题的结论.数学的严谨性、逻辑性与抽象性为这门学科披上了一层神秘的面纱，它大多数时候不会特别简单而直白，所以学生在学習数学这门学科时，很多时候往往不能简单直观地理解它，因此，在数学教学中，教师除了要教给学生基本的、严密的逻辑推理以外，还要引导学生掌握逆向思维的方法，换句话说，就是要让学生在掌握正面论证的同时，学会举反例。

2 反例的构造原则

反例的构造需要遵循一定的原则，不是每个题目都适用于构造反例，反例也不是多多益善，构造反例需视实际情况，科学合理地来构造。

2.1 正确性原则

数学是一门具有严谨的逻辑体系和缜密的思维特点的学科，数学学科的严谨性要求我们在构造反例时要坚持正确性原则，也即我们在构造反例时要有依有据，不能想当然，凭空捏造，所构造的反例必须有明确的依据，而且构造反例时，也要分析已知题目的性质、特点，找好切入点，“对症下药”。如果所举的例子本身正确性就存在考究的话，那就没有意义了。此外，需明白，举反例不是说让我们举一个错误的例子，而是举出能说明其问题错误的正确例子。

2.2 简单性原则

构造反例的意义本身就是将问题化繁为简，因此，反例的构造应该尽可能简洁明了，让人一目了然。也就是说，只有能够有效地说明问题，所举的反例只有更简单，没有最简单。

例如，要说明命题“若，则”是假命题，只需要举例“”即可说明问题。简单的数字让人一目了然又极具说服力。

2.3 全面性原则

数学要求严谨、客观、全面，构造反例同样如此。找反例时，要考虑全面，把所有可能涉及到的情况考虑进去，学生在构造反例否定结论时，往往因为思维不全导致出错。因此，构造反例一定要坚持全面性原则。

这都与已知矛盾，所以假设不成立，即结论成立，即得证。

2.4 经验性原则

在数学中，有一些常用的反面对立词，平时我们可多多积累，形成经验。要善于归纳总结一些常用思想方法，当题目中出现关键词时，能迅速在脑海中定位并找出反设。因此，我们要清楚一些特殊结论的反设。

3 反例的构造方法

了解了反例的基本含义，也明确了反例在数学教学中的作用至关重要，但这些还不够，我们需要掌握反例的构造方法，学会自己构造反例。知道反例的作用固然重要，但更重要的是知道如何构造反例。

3.1 特例法

特例法，顾名思义，就是特殊的例子，通常是符合题设的某个特殊例子，使得命题的结论不成立。所谓特殊例子，可以是某些具体情况，也可以是某些极端情况，并且这些情况的结论是已经被证明为真的。如：判断命题“任何数的平方都大于它本身”的真假，只要举出“0.1”这一例子就可以了;而要推翻命题“如果，那么”，只要举出反例：，但是-3≠3即可。在构造反例时，要特别留意题设中出现的主题词，找到这一主题词包含的特殊情况。如，当题设中出现四边形时，要注意考察平行四边形、矩形等特例;当题设出现非负数时，要注意考察0这一特例;当题设出现三角形时，要注意考察等腰三角形、直角三角形等特例。

3.2 图形直观法

图形往往带给人最直观的视觉感受，因此，在构造反例时，我们可以利用图形，直观清晰地说明问题。

例2 判断命题“有公共顶点的两个角是对顶角”的真假，并说明理由。

解：该命题是假命题。

我们根据对顶角的定义，一个角的两边分别为另一个角的两边的反向延长线时，这两个角是对顶角，有公共頂点的两个角的两边不一定互为反向延长线，所以该命题为假命题。

如图1所示，∠1和∠2有公共顶点，但∠1和∠2不是对顶角。

此例根据所构造的图形可以给人直观真切的感受，从而更便捷地说明了问题。

3.3 逆否命题法

在学习命题时，我们知道，原命题与它的逆否命题具有同真同假性，因此，对于有些数学问题，我们可从它的逆否命题出发，进行真假性的讨论。我们可先写出原命题逆否命题，后从逆否命题的条件出发构造反例，如果推出逆否命题正确，则说明原命题正确，反例错误，并从使得逆否命题错误的角度出发寻找条件构造反例。

例3 若是合数，则一定是合数。

分析：原命题的逆否命题为“若不是合数，则一定不是合数”

先从逆否命题的条件出发，假设不是合数，那么可能为质数或为1。

当时，不是合数，逆否命题正确，反设错误。

因此当排除出现矛盾的这一条件“”时，反设正确。

反例：取为质数。

当为质数时，显然为合数，逆否命题不真，因此原命题为假命题。

3.4 定义法

运用定义法构造反例，首先需要对数学中的定义、定理、法则较为熟悉，在构造反例时，抓住定义中容易被忽视的条件来构造。

例4 举反例说明命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是假命题。

分析：对照同位角相等的定义“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”，不难发现，题设中少了“两直线平行”这一条件，因此，我们可以抓住这一条件，再结合上文提到的图形直观法，构造出反例：

反例：如图2所示，当直线不平行于直线时，同位角∠1和∠2不相等。

类似地，在说明“同旁内角互补”是假命题时，根据定义“两直线平行，同旁内角互补”，可知在同一平面内，只有当两直线平行时，同旁内角互补才成立，因此可以此切入构造反例。

运用定义法构造反例时，需要格外注意定义、定理、法则的限定条件，尤其当出现“仅仅”、“平行”、“垂直”时，要更加注意对照分析。

4 结语

数学作为一门内涵丰富的基本学科，其教学既要让学生获得知识，丰富文化内涵，又要发展学生自主质疑与纠错的能力，而反例常常以它自身的魅力引导学生对问题探究到底，成为引发学生深入思考的催化剂。反例的构造方法多种多样，文中只是选取部分典型例题进行说明。需要注意的是，引入反例要根据学生的认知特点、思维发展程度来进行，要有针对性的层层深入，要将反例妙用而不是滥用。

参考文献

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