浅谈反例在数学教学中的作用

李楠

【摘要】 本文从反例的概念出发，以示例的形式分别从六个方面淺谈反例在数学教学中的作用.教育心理学认为，概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息.所以，在数学教学中有意识地构造反例来解决实际问题，让学生从中领会到反例的神奇功效，是十分有必要的.

【关键词】 反例；数学教学；作用

数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子.简单地说，反例是一种指出某命题不成立的例子.

在数学中，要证明一个命题成立，必须严格地在所给的条件下，用逻辑推理的方法推导出结论.要证明一个命题是错误的，极具有说服力而又简明的方法就是举出反例，去推翻它.反例实际上是与命题相矛盾的特例.在数学发展的历史上，恰当的反例推动了数学的发展.常常有这样的情况，一个重要的猜想，数学家用了很长的时间未能证明它，结果有人举出反例否定了这样的猜想，使问题得到了解决.1640年，费马认为自己找到了能表示部分素数的公式22n+1（称为费马数）.他验证了n=1，2，3，4的情况都是正确的，于是得到了形如22n+1的自然数是素数的猜想.一百多年后，欧拉指出225+1=4 294 967 297=6 700 417×641.从而推翻了费马的猜想.历史上，这样的例子举不胜举.

著名数学家B·R·盖尔鲍姆说：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学的发现也朝着两个目标——提出证明和构造反例，一个数学问题用一反例予以解决，给人的刺激犹如一出好戏.”毋庸置疑，反例与证明在数学的发展中占着同样重要的地位.这是因为，在数学问题的探索中，猜想的结论未必正确，正确的需要证明，谬误的则靠反例给予反驳.由于记载于书上的定理、法则和公式，都是探索成功的结晶，而那些有功的反例，却随着错误的结论被遗弃而淹没于世，这给人一种错觉：数学学习和教学中到处活跃着的几乎全是证明，反例则寥若星辰.其实，反例在数学中有其特殊价值，数学命题条件的强弱、适用范围的宽窄，都需要反例去作对比，才能理解深刻；如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并可从反例中得到修正的启示.因此，在数学教学中充分利用反例的特点，适当地运用反例进行教学，可以使数学教学收到事半功倍的效果.

一、反例可使学生正确理解基本概念

概念是数学理论和方法的基础，只有准确理解和把握概念的内涵，才能正确掌握数学知识.数学中的概念繁多，有些概念是比较抽象的，在讲授这些概念时，教师不仅要运用正面的例子来深刻阐明其本质属性，而且要灵活借助反例加深学生对概念中的关键词和本质特征的认识，强化对概念的理解.在进行奇、偶函数概念的教学时，不少学生对概念的理解只是表面的，还没有深入本质.教师可提出问题：y=x（-1

这样，通过列举反例，从反面消除容易出现的一些模糊认识，加深对概念的理解.另外，在概念教学中，有的学生不注意定义中关键性字句的含义，应用时发生错误.利用反例可以加深学生对关键性字句的认识.

二、反例是辨析错误，纠正错误的有效办法

学习过程是一个知识积累的过程，同时，也是不断发现错误，改正错误的过程.反例在辨析命题真伪时，具有直观、明显、说服力强等突出的特点，在解题中，对于学生出现的错误，运用反例加以否定比直接找出错误更令学生信服.通过反例教学，不但可以发现学习中的错误和漏洞，而且可以从反例中修补有关知识，从而获得正确的结论或解答.

例如，学习反函数后，发现这样一个重要性质：函数y=f（x）的图像与其反函数y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称.

因此，大部分学生认为，函数与其反函数图像的交点一定在直线y=x上.事实上，举一个简单的反例即可说明此结论是错误的，如y= 1 x 的反函数仍为y= 1 x ，两图像是重合的，当然有无数多个交点而且只有（1，1），（-1，-1）两点在直线y=x上，其余均不在此直线上.

三、反例可使学生正确理解和明确定理、公式、法则中条件的严密性

在命题的教学中，用生动的反例驳斥错误的命题是非常简洁、有效的.更重要的是，反例可用来说明正确命题的使用范围.这对初学者非常有益，不仅能澄清一些错误的认识，对基本定理和基本性质做出正确的理解，也能促使学生形成严密推理、重视条件的习惯，避免发生“失之毫厘，谬之千里”的错误.

在学习中，学生有时不留心公式、法则的适用范围，把在某一条件下适用的公式、法则与性质接近、形状类似的同类公式、法则引起联想，扩大到其他条件里去，造成错误.为克服与避免这种错误，防患于未然，适当地举反例是必要的，也是有效的.

在数学教学中，为说明A仅是B的充分条件，而不是B的必要条件时，常可通过反例来说明.这样既可以帮助学生牢固地掌握定理，又可以培养学生严格的推理习惯.另外，有些学生在学习时往往对定理的内容掌握不全面，为应付考试，只埋头解（证）题，忽视条件，死记硬背，学不得法，用不应手.这时可举反例来强调对定理的条件及结论的全面理解，这有利于学生准确理解基础知识，灵活运用基础知识.

例如，若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在（a，b）上取到最大值与最小值.

可举反例：f（x）=x在区间[0，1]上连续，但f（x）在区间（0，1）上取不到最大值与最小值.强调对定理条件中的“闭区间”不能少.

综上所述，教师恰当地引入反例进行教学，可以使学生正确理解概念，深刻掌握定理、公式、法则，也能激发学生学习的兴趣，培养学生的数学素质，从而提高教学质量.因此，反例在数学教学中发挥着功不可没的作用.

【参考文献】

[1]李新萍，石红芳.谈反例在数学教学中的作用[J].数学教学通讯，2006（02）：32-33.