对2018年北京卷理科19题的探究

范琴 余小芬

【摘要】本文从试题解法、试题推广、试题改编三个视角对2018年北京卷理科19题进行了研究，得到了试题的两个推广及一个变式.

【关键词】圆锥曲线;试题推广;试题改编

【基金项目】 四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目（ZY16001）.

一、题目呈现

（2018年北京卷理科第19题，下文简称19题）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）.过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围;

（Ⅱ）设O为原点，QM=λQO，QN=μQO，求证：1λ+1μ为定值.

二、解法赏析

解 （Ⅰ）由抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），得p=2，所以抛物线C为y2=4x.由题意可知，直线l斜率存在，设斜率为k，且k≠0.又l过点Q（0，1），故设l：y=kx+1.联立y=kx+1，y2=4x， 得k2x2+（2k-4）x+1=0.又直线l与抛物线有两个不同的交点，故Δ=（2k-4）2-4k2>0，解得k<1.

若直线l与抛物线的交点为（1，-2），则该交点与P点连线与y轴平行，不符合题意，此时对应直线l斜率k=-2-11-0=-3，所以k≠-3.

综上，k的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）.

评注 19题（Ⅰ）问考查了直线与抛物线的位置关系.学生不难想到联立直线与曲线方程，将图形交点问题转化为方程组的解的问题，进一步消元、利用一元二次方程根的判别式求解k.但容易忽略一些解题细节：一是对直线l斜率k的讨论，大部分学生能对斜率存在与否做分析，但易忽略k≠0情形;二是对直线PA（或PB）位置的讨论，不能排除PA（或PB）与y轴平行的情形.

三、拓展研究

事实上，连接P，Q两点，可证直线PQ与抛物线相切于点P.因为y=2x（y≥0），故y′=1x，所以抛物线在点P处的直线斜率为y′|x=1=1.又kPQ=1，故PQ与抛物线相切.因此，产生一个自然而然的想法：在抛物线C上任取一點P（不与原点重合），过P作抛物线C的切线与y轴相交于Q点，是否仍然有1λ+1μ为定值？经过验证，笔者得到了如下定理1.

定理1 已知抛物线C：y2=2px（p>0），在抛物线C上任取一点P（不与原点重合），过P作抛物线C的切线与y轴相交于Q，过Q的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.设O为原点，QM=λQO，QN=μQO，则1λ+1μ为定值.

四、试题改编

试题改编是研究高考试题的重要方式.试题改编有利于深化对问题的本质认识，有利于实现解法的迁移.试题改编的基本方式有：变换试题背景、强化或弱化已知条件、改变设问方式，等等.[1]

试题改编 已知椭圆C：x24+y2b2=1经过点P1，32，过P作椭圆C的切线与y轴相交于Q，过Q的直线l与椭圆C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.设O为原点，QM=λQO，QN=μQO，则1λ+1μ为定值.