从别证看一道奥赛题的条件多余

江苏省姜堰中等专业学校 (225000)

陈 宇

第59届IMO试题第1题设Γ为锐角⊿ABC的外接圆，点D,E分别在线段AB,AC上，满足AD=AE，线段BD,CE的垂直平分线分别与圆Γ的劣弧AB,AC交于点F,G.证明：直线DE与FG平行(或重合).

图1

笔者在此将部分借助三角法给出这道赛题的一个别证.同时论证该赛题一个G′条件“锐角⊿ABC”中的“锐角”为多余条件.

证明：按题意，分别连接AF,BF,DF;AG,CG,EG.设AB>AC，∠BAF=α,∠ABF=∠BDF=∠AGF=β,∠ACG=∠CEG=∠AFG=γ，∠CAG=δ(如图1).则α+β=∠ACB,γ+δ=∠ABC.且锐角α,β,γ,δ满足α<β，δ<γ<∠ABC.

进而得β-α=γ-δ⟹α+γ=β+δ(∵β-α<∠AFG<∠ABC为锐角),又⊿AHK中,∠AHK=α+γ=β+δ=∠AKH,可知AH=AK,由此得DE∥HK.即DE∥FG.

图2

由AB>AC,当DE与FG重合时，圆Γ上的点C,G重合于C.进而点E,K,G,C重合于C.否则(如图2),点E,K,C不重合于C，则CE﹥0，依题设条件，线段CE的中垂线交圆Γ于G′,必有FG′分别与AB,AC交于点H′,K′.由上述证明可知DE(FG)∥FG′.进而FG′与FG重合.

此时，在线段AB,AC上分别取AD=AE=AC(如图3，点G,C重合于C.).连接并延长GD交圆Γ于点F.则∠ACF=∠ADC=∠BDF=∠DBF.

图3

∴⊿BDF中,BF=DF.则点F在线段BD的中垂线上.此时DE与FG重合.

当AC>AB时,由对称性可知，同样有DE与FG重合.

当AB=AC时,有DE∥FG.若DE与FG重合.则点B,D,F;C,E,G分别重合.否则，如图4，∠ADE=∠BDF=∠DBF=∠ACB>∠DBF.矛盾.

图4

也许本文证明DE与FG重合的过程较烦.但参考答案中并未对DE与FG重合时相关点的位置关系给出证明.只是笼统的一句“结论得证”.似有遗漏之嫌.

参考答案从平几角度证明，确实涉及到∠BAC的大小.但由本文上述证明知，在题设条件下，该试题结论成立，与∠BAC的大小无关，只与∠BAC的边AB与AC的大小相关.即满足0<∠BAC<π，原赛题结论总成立.DE与FG重合时，其重合的位置也只与∠BAC的边AB与AC的大小相关.

进而，当0<∠ACB<π时，点D,E分别在线段AB,AC上，满足AD=AE，线段BD,CE的垂直平分线分别与∠ACB，∠ABC所对的弧AB,AC交于点F,G(此处条件叙述与原赛题对应条件叙述同义，虽显直白，但适用于任意三角形).结论成立.

可见，对于任意⊿ABC，在题设条件下，该试题结论成立.显然，题设条件“锐角⊿ABC”中的“锐角”实为多余.

至此，该试题只需表为设Γ为⊿ABC的外接圆，点D,E分别在线段AB,AC上，满足AD=AE，线段BD,CE的垂直平分线分别与∠ACB，∠ABC所对的弧AB,弧AC交于点F,G.证明：直线DE与FG平行(或重合).

其证明过程统一包含于上述别证(直线DE与FG平行(或重合))