部分结构突变的线性面板模型的变点估计

韩姣,夏志明

(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

1 引言

面板数据中存在公共变点的现象发生在社会生产的方方面面,例如一种商品价格的涨跌影响周边多种相关商品的销量,储蓄利率调整会导致各大银行货币存储量变化等.面板数据中变点估计问题的研究有利于及时发现社会生产中的异常经济现象以避免不必要的损失.实际上,同一事物往往受多因素影响且某些因素之间不存在相关关系,当某些因素发生突变时存在另一些因素不发生变化,表现在变点模型中称为部分结构突变,即存在参数不受变点的影响.一方面,部分结构突变的变点模型在应用上更为广泛.另一方面,同样精度要求下面板数据相对于单序列在变点估计问题上需要更少的数据,即意味着更节省时间成本.因此部分结构突变的线性面板模型中变点估计问题的研究对于经济社会发展意义重大.

统计学和经济学现存文献中有大量关于线性模型变点问题的文章.文献[1]对于变点估计问题的研究做出了巨大的贡献,考虑了线性过程中具有未知变点的均值漂移模型,通过最小二乘法估计未知变点,相对于文献[2-4]采用的最大似然估计方法缩减了计算复杂度,证明了变点估计量的相合性,得到了收敛速度及跃度较小时变点估计量的渐近分布.文献[5]考虑带有单个变点的部分结构突变的多元回归模型中的变点估计问题,允许滞后因变量,趋势回归,误差序列的相关性及异质性,同样得到了变点估计量的大样本性质.文献[6]研究了部分结构突变的多变点线性模型的变点估计与检验问题并提出了多变点的序贯估计策略.然而他们都只得到了变点分数估计量的T相合性,变点估计量与真值的差是随机有界的,在样本量给定的情形,这样的结论没有任何意义.对于面板数据中变点问题的研究始于文献[7-8],他们引入了面板数据模型的均值项上可能存在变点的问题.文献[9]对早期的研究进行了一般化的处理,考虑简单均值漂移模型,在各面板间相互独立的假设前提下允许每个面板中误差存在序列相关性,且不要求每一项的观测值数量与样本量成正比,得到了变点估计量的相合性.然而在复杂的经济关系中,简单均值漂移模型并不能很好地描述和解释经济规律.近期,文献[10]考虑具有固定效应的非线性和不可分离面板数据模型的半参数估计,在正则条件下得到估计量的相合性及渐近正态性,但对线性情形未作考虑.

本文讨论部分结构突变的线性面板模型中单个公共变点的估计问题.首先对部分结构突变的模型进行重参数化,再通过最小二乘法得到线性参数估计量的矩阵表达,由最小化残差平方和准则估计变点,证明了变点估计量的相合性.最后蒙特卡罗模拟结果显示理论是正确的.

2 统计模型及假设

考虑如下的带有同一个给定变点k0的部分结构变化的线性面板模型：

其中yit是可观测的因变量,xit(p×1)和zit(q×1)是可观测的协变量向量,是相应的系数向量且ϵit是误差项.注意不受变点的影响但不同序列可能有不同值.模型(1)可被表示为

模型(1)和模型(2)可被等价地表达为矩阵形式

其中

得到.将上述的最小二乘估计量代入目标函数得到残差平方和函数ST(k),则变点估计量为

考虑参数的可识别性,有k∈{p+q,···,T−p−q}且变点估计量是目标函数的全局最小值.

则模型(3)等价于

由最小二乘方法可得参数αj,j=1,2的最小二乘估计量为其中Wj=diag(W1j,···,WNj),j=1,2.由可得,则

假设1存在δ>0,K<∞使得

假设2令,则 (a){ϵit}是一个关于的鞅差序列且存在c>0使得E|ϵit|4+c<∞;(b)ϵit关于i相互独立.

假设 3

根据假设1-假设2,再由文献[11]及弱大数定律可得

假设 4当T→∞,k1,k2∈{p+q,···,T−p−q},令

其中Gi(τ0),Gi(τ)和Gi(1)为有限对称正定矩阵,Gi(τ)关于τ连续且严格单调递增,

且存在某一正常数Q,使得λmax{Gi(τ)}≤Q,i=1,···,N,j=1,2.令

假设 5存在0

假设 2要求对于固定的i,wit中不存在滞后相依的回归量,此时要求误差序列{ϵit}存在序列相关性.假设3是发展渐近理论的基本假设,要求变点两侧的观测值数量随着样本容量的增加而成比例增加.假设4是多元线性回归的标准假设.假设5要求跃度不为零且二阶矩有限.

3 变点估计量的大样本性质

对于带有单个公共变点的部分结构突变的线性面板模型(3),可得到如下的变点估计量的大样本性质.

定理3.1在假设1-假设5条件下,有

证明考虑类似于文献 [12]命题 1中的重参数化方法,令W=W1+W2且则模型(4)可被重参数化为

定义M=I−P,其中投影矩阵P=diag(P1,···,PN),

由标准代数得残差平方和函数(5)可写为ST(k)=Y′MY且MW=0,则

M是对称幂等矩阵且列满秩,因此有M半正定,

R∞(τ)连续且在τ0达到唯一最小值 0.由文献 [13]的定理 2.1知,当T→∞且,再由假设3和假设4可得

4 蒙特卡罗模拟

由模型(1)生成数据以验证理论的正确性.令样本量N=1,5,10,15,20,30,70,100,T=30,80,150,,p=2,q=2,的元素服从的元素分别服从U(2,2.5),U(2.5,3),xit,zit的元素服从N(1,1),ϵi1∼N(0,1),ηi1=0,ηit∼N(0,1),ϵit=−0.6ei(t−1)+ηit,i=1,···,N,t=1,···,T,估计 1000 次得到估计准确率及变点估计量均值与真值的距离,见表1.

表1 基于1000次模拟所得估计准确率,变点估计量均值与真值的距离及相应的标准误

由表1可知,在所考虑的情形中当N=1时,变点估计的准确率随着T增大而增大,但总体上准确率偏低,低于 25%.这表明此时单序列变点估计效果差强人意.当T及N同时增大时,估计的准确率逐渐趋近于1,1000次估计所得变点估计量均值与真值的距离及相应的标准误都趋于0,即变点估计值收敛于真值.

5 结论

本文研究了部分结构突变的带有单个公共变点的线性面板模型中变点估计量的大样本性质,在面板数及样本量同时趋于无穷的情形证明了变点估计量的相合性,并通过蒙特卡罗模拟验证了理论的正确性.