井眼轨迹的主法线角及其方程

刘修善

（中国石化石油工程技术研究院，北京 100101）

井眼轨迹挠曲特性的表征是研究井眼轨迹设计、监测及控制等技术方法的科学基础，只有掌握了井眼轨迹的挠曲特性及其表征方法，才能更好地实现导向钻井的预期目标。导向钻井需要先设计好井眼轨道，然后再确定工具造斜率和工具面角等技术参数，进而形成钻井技术方案[1-2]。显然，要基于井眼轨迹的挠曲形态来确定导向钻具的定向造斜参数，就必须建立两者间的相互关系。习惯做法是基于井眼轨迹计算出工具面角，基于井眼曲率来确定导向钻具的造斜率并留出余量。

目前，通过研究导向钻具与井眼轨迹之间的相互作用，揭示了习惯做法的理论依据[3]：导向钻具的造斜率决定了井眼轨迹的井眼曲率，导向钻具的定向方向决定了井眼轨迹的主法线方向；提出了普适性的工具面角方程，解决了原有工具面角公式仅适用于空间圆弧模型的问题。然而，这些研究结果仍有局限性，即没有考虑地层自然造斜对井眼轨迹的影响。换句话说，基于井眼轨迹的挠曲形态来确定导向钻具的定向造斜参数，现有方法还仅局限于不考虑地层自然造斜影响的情况。

针对上述遗留问题，笔者提出了井眼轨迹主法线角的概念，建立了主法线角的通用方程，创建了用特性曲线表征井眼轨迹挠曲形态的方法，以期厘清现有理论与技术中的一些模糊认识。

1 主法线角的定义

井眼轨迹是连续光滑的空间曲线，既有弯曲又有扭转。为表征井眼轨迹的挠曲形态，需要定义井眼轨迹的基本向量，即单位切线向量t、单位主法线向量n和单位副法线向量b。单位切线向量t指向井眼轨迹的前进方向，单位主法线向量n指向井眼轨迹的弯曲方向，单位副法线向量b垂直于单位切线向量t和单位主法线向量n（即b=t×n），如图1所示。

图1 井眼轨迹的基本向量和主法线角Fig.1 Basic vector and principal normal angle of borehole trajectory

根据数学原理和钻井工程定义，在井口坐标系O-NEH下，井眼轨迹的基本向量可表述为[2-4]：

式中：α为井斜角，（°）；φ为方位角，（°）；κα为井斜变化率，（°）/m；κφ为方位变化率，（°）/m；κ为井眼曲率，（°）/m；i，j和k分别为井口坐标系N轴、E轴、H轴上的单位坐标向量。

井眼轨迹的弯曲特性可用井眼曲率κ和单位主法线向量n表征，其中井眼曲率用于表征井眼轨迹的弯曲程度，单位主法线向量用于表征井眼轨迹的弯曲方向。虽然式（1）能表征单位主法线向量n，但是不够直观，也不便于应用。考虑到单位主法线向量n和井眼高边都位于井眼轨迹的法平面内，所以基于井眼高边方向来表征单位主法线向量n更为简洁方便。若井眼高边向量用h表示，则在井口坐标系O-NEH下可表示为[2-3]：

为基于井眼高边来表征主法线方向，将单位主法线向量n与井眼高边向量h之间的夹角定义为主法线角ω，ω是单位切线向量t自井眼高边向量h方向顺时针转至主法线向量n方向所形成的角度。

2 主法线角与工具面角的关系

导向钻具的定向造斜特性用工具造斜率κt和工具面角ωt表征，其中工具造斜率用于表征导向钻具的造斜能力，工具面角用于表征导向钻具的工作姿态并确定定向方向nt[3]，如图2所示。在井底点P处，向量t指示了井眼轨迹的切线方向，垂直于向量t的平面称为井底平面。过向量t的铅垂平面称为井斜平面，导向钻具所在或所指示的平面称为工具面。在井底平面与工具面的交线上，从井眼中心P点指向钻头的方向称为定向方向，用单位向量nt表示。显然，井眼高边向量h位于井底平面与井斜平面的交线上，且指向增井斜方向。

图2 导向钻具的定向方向和工具面角Fig.2 Orientation direction and tool face angle of steering tool

工具面角ωt是指绕井眼切线向量t自井斜平面顺时针转至工具面所形成的角度[1-2]。显然，工具面角ωt是工具面与井斜平面之间的夹角，也是定向向量nt与井眼高边向量h之间的夹角[3]，且具有方向性。

此前，业内没有主法线角概念而用工具面角代替，还认为井眼轨迹的井眼曲率与导向钻具的造斜率相等。于是，在工程上形成了一些习惯做法，例如基于井眼曲率κ来估算工具造斜率κt、基于工具面角ωt建立井眼轨迹的恒工具面模型[5-6]，等等。事实上，井眼曲率和主法线角属于井眼轨迹的挠曲参数，工具造斜率和工具面角是导向钻具的定向造斜参数，两者的研究对象和参数意义存在本质性区别。显然，井眼轨迹模型应基于井眼轨迹的挠曲参数来定义，不应基于导向钻具的定向造斜参数进行定义，所以恒工具面模型应改称为恒主法线（角）模型。业内长期混用这2组参数的主要原因是：当不考虑地层自然造斜对井眼轨迹的影响时，井眼曲率和主法线角（κ，ω）与工具造斜率和工具面角（κt，ωt）在数值上分别相等。因此，以往的相关研究结果都只适用于不考虑地层自然造斜影响的情况，此后应厘清这2组参数。

3 主法线角方程

根据井眼轨迹主法线角和向量间夹角的定义可知：

将式（1）和式（2）代入式（3），由于|n|=|h|=1，经整理得：

于是，有：

及

这样，便得到了井眼轨迹的井眼曲率和主法线角（κ，ω）与井斜变化率和方位变化率（κα，κφ）之间的关系式。在上述定义及公式推演过程中，由于没有限定具体的井眼轨迹模型，所以这些公式都具有普适性。

对于具体的井眼轨迹模型，需要求得井斜角α、井斜变化率κα和方位变化率κφ，才能用式（6）计算井眼轨迹的主法线角ω。显然，井眼轨迹模型不同，这些参数的计算方法也不同。将任一井眼轨迹模型的井斜角（α）方程、井斜变化率（κα）方程和方位变化率（κφ）方程代入式（6），都可得到相应模型的主法线角ω的计算公式。

对于空间圆弧模型，假设井眼轨迹为空间斜平面内的圆弧线，井眼曲率κ为常数，其特征参数是井眼曲率κ和井段始点A处的主法线角ωA[2]。

其中

式中：αA为A点的井斜角，（°）；L为井深，m；LA为A点的井深，m；ε为弯曲角，（°）。

对于圆柱螺线模型，假设井眼轨迹为等变螺旋角的圆柱螺线，其垂直剖面和水平投影均为圆弧，特征参数是垂直剖面和水平投影的曲率κv和κh[2]。

式中：κv为井眼轨迹垂直剖面的曲率，（°）/m；κh为井眼轨迹水平投影的曲率，（°）/m。

对于自然曲线模型，假设井眼轨迹的井斜变化率κα和方位变化率κφ都为常数，其特征参数是井斜变化率κα和方位变化率κφ[2]。

4 主法线角的功用

4.1 表征井斜规律

由于井眼曲率κ恒为正值，且在井斜角值域内sin α≥0，所以由式（5）可知，井斜变化率κα和方位变化率κφ的正负号取决于主法线角ω的数值，即：

还可根据式（18）和式（19），用图示法来表征主法线角ω对井斜角α和方位角φ的影响规律（见图3）。

图3 主法线角对井斜的影响规律Fig.3 Influence rules of principal normal angle on hole inclination

4.2 表征挠曲特性

为表征井眼轨迹的挠曲形态，现已定义了很多挠曲参数，常用的挠曲参数及分组有：井斜变化率和方位变化率（κα，κφ）、井眼曲率和主法线角（κ，ω）。显然，井眼轨迹的挠曲参数都沿井深变化，要形象直观地表征这些挠曲参数的变化规律，就需要构建井眼轨迹的挠曲特性曲线。

由式（6）可知，井眼曲率κ和主法线角ω均为κα和κφsin α的函数。若以κφsin α为横轴、以κα为纵轴建立直角坐标系，则井眼曲率κ和主法线角ω分别为极坐标系的极径和极角，如图4所示。据此，将井眼轨迹上各点处的井眼曲率κ和主法线角ω都绘制在这张图上，便可得到随井深变化的κ-ω曲线。若将设计轨道和实钻轨迹的井眼曲率和主法线角绘制在同一张图上，便可随钻监测两者的变化规律及两者的符合情况。

需要说明的是，图4内涵丰富，它不仅基于极坐标系表征了κ-ω曲线，也基于直角坐标系表征了κα-κφsin α曲线，而且还表征了井眼曲率和主法线角（κ，ω）与井斜变化率和方位变化率（κα，κφ）之间的相互关系。

图4 井眼轨迹的挠曲特性曲线Fig.4 Deflection characteristic curve of borehole trajectory

5 结 论

1）提出了井眼轨迹主法线角的概念及定义，明确了井眼轨迹挠曲特性（井眼曲率和主法线角）与导向钻具定向造斜特性（工具造斜率和工具面角）之间的区别。只有不考虑地层自然造斜对井眼轨迹的影响时，两者才相等。

2）揭示了井眼轨迹不同挠曲参数间的关系，建立了井眼轨迹的主法线角方程，并给出了常用井眼轨迹模型的主法线角计算公式。

3）建立了用特性曲线表征井眼轨迹挠曲形态的方法，基于直角坐标系和极坐标系耦合的特性曲线可表征多组挠曲参数及其之间的关系，可用于随钻监测井眼轨迹的挠曲特性及其变化情况。