多管齐下妙发力，探求数量积最值——一道2018年上海高考题的探究学习

☉江苏省宝应县安宜高级中学 季 峰

2018年高考过后，数学风云变幻，问题创新无限，原创名题如云，方法美不胜收，特别是一些难度不大的题目，有时也是耳目一新.例如2018年高考上海卷第8题，背景简单，交汇合理，立意新颖，思想丰富，特别是题目巧妙设置有“静”与“动”、“定值”与“最值”等矛盾的统一体，使得问题更有品味，破解难度不大，切入点也比较多，是高考众多名题中的一大精品，具有非常好的学习、观摩、研究、探究、拓展等价值.

一、问题呈现

【问题】（2018年上海卷8）在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且最小值为______.

本题是以平面直角坐标系为问题背景，借助点的坐标、平面向量的坐标表示、动点的特征、两点间的距离公式、平面向量的数量积来共同构造此题目，借助平面向量的坐标运算、线性运算，结合二次函数的图像与性质或基本不等式等工具性的知识来确定相应的最值问题.题目难度不大，但知识交汇与融合巧妙，拼凑合理有序，是一道考查知识与能力俱佳的题目.

二、多解思维

根据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a-b|=2，即a=b+2，或b=a+2，可求得将a=b+2代入上式即可求出的最小值；同理将b=a+2代入，也可求出的最小值.

解法1：根据题意，设E（0，a），F（0，b），a，b∈R，则

故答案为：-3.

根据题意可设E（0，t），F（0，t±2），根据对应向量的坐

故答案为：-3.

根据题意取坐标原点O，通过平面向量的线性运算来转化相应的向量结合平面向量的数量积运算得到利用来确定相应的数量积取得最小值时必须使得E、F位于坐标原点O的两侧，结合数量积的定义及基本不等式的应用来确定相应的最值问题.

故答案为：-3.

根据题意取坐标原点O，通过平面向量的线性运算来转化相应的向结合平面向量的数量积运算得到过数形结合来直观判断当E、F位于坐标原点O的两侧，且当1时取得最小值.

故答案为：-3.

总评：无论通过平面向量的坐标运算还是线性运算来切入，都离不开平面向量的数量积的定义或坐标公式的转化，为进一步借助二次函数的图像与性质或基本不等式来确定相应的最值提供条件.特别在处理平面向量的数量积的最值时，二次函数与基本不等式是常见的两类工具，有时还借助平面几何图形加以数形结合来直观确定.

三、变式拓展

探究1：保留题目背景，改变原来在坐标原点异侧的点A、B的位置为同侧，从而得以变式.

【变式1】在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且，则的最小值为______.

解析：根据题意2，设E（0，t），F（0，t±2），t∈R，

故答案为：1.

探究2：保留题目条件，改变其中两动点的距离2为一般性的常数表示，从而得以变式.

【变式2】在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且的最小值为______.

四、规律总结

其实，在平时解答数学问题时，要多加反思及总结，不能仅仅停留在问题破解的初级阶段，还要进一步认真审题，看清问题的本源，回归知识的本来面貌，剖析方法的多样性与快捷性，这样才能有助于我们更好地、更简洁地解决问题，提升能力，培养素养.正如罗增儒教授说过：“一旦获解，就立即产生感情上的满足，从而导致心理封闭，忽视解题后的再思考，恰好错过了提高的机会，无异于入宝山而空返.”