统计题型研究，展望命题规律——基于全国高考与复习

☉安徽省天长市铜城中学 卞寿霞

为了更好地应对2019届高考的数学备考，通过对2013年至2018年六年间的全国新课标Ⅰ卷理科数学试题中关于统计知识点的试题进行分析，结合题型研究，梳理高考数学试题对统计的考查意图，了解高考数学试题中统计的命题方向，并结合考试说明进行对比，为新一届的复习备考提供一些展望与指导.

一、全国高考统计部分考点分析与考查重点

1.考点分析与考查概况

以新课标高考全国Ⅰ卷为例，就近6年全国新课标高考统计部分的考点分析如下：

年份 题号 分值 考点2013年 3 5分 抽样方法2014年 18 12分 产品检验，直方图，数据特征，数学期望2015年 19 12分 利润问题，散点图模型，回归方程及应用2016年 19 12分 机器更换问题，柱状图，分布列，方案优化2017年 19 12分 正态分布，数学期望，抽象的合理性2018年 3 5分 饼图及其应用

统计是每年高考中必考的考点之一，也是实际应用的主要场所之一，主要考点为：三种抽样方法的选择及其相关计算，总体分布中的统计图与表的识别与应用，总体特征数的计算与应用，线性回归方程的求解与应用，以及统计知识的交汇与综合应用问题等.

2.高考考查重点

（1）抽样方法主要考查抽样方法的概念、选用及相关运算，并会运用统计知识来解决一些相关的实际问题.平时考查主要包括抽样方法的选择，以及对应的计算问题，主要以分层抽样为主.

（2）总体分布的考查主要以统计图或表的形式出现，包括统计中常用的“一表六图”（频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、频率分布扇形图、饼图、茎叶图、散点图等）的考查：①比较图表的信息，确定不同数据的结果情况；②图表的数据信息与统计信息，通过识图、读图，从图表中获取数据信息并加以统计，从而通过这些统计表或图给出相应的统计信息，或通过相应的统计信息求解这些相应的统计图或表.高考中的考查主要以频率分布表、频率分布直方图等为主，经常出现在选择题、填空题或解答题中，难度不大.

（3）在总体特征数的考查中，往往利用对应的数学特征来进行计算与应用.

（4）理清两个变量之间的函数关系与相关关系的区别与联系，以及准确确定线性回归方程，从而进一步加强数学应用意识，培养运用所学知识分析问题和解决问题的能力.

（5）在统计中，经常把统计知识与代数、几何、概率等相关知识加以交汇与整合，用来考查实际应用问题，是新课标考纲中比较热点的问题之一.

二、全国高考统计部分考情预测

（1）抽样方法的选择与计算，有时也会涉及简单的概率问题；

（2）统计图与表的识别与应用，考查对图表的阅读与理解，以及知识点间的应用问题；

（3）数字特征的考查以创新情景为主，理解公式与应用；

（4）概率与统计的交汇与综合也是考查的一大方向.

三、统计的命题类型

1.抽样方法的考查

例1某地区有高中生12000人，初中生10000人，小学生13000人，某调研机构为了了解学生的学习成绩与网络课程学习方面是否存在一定的差异，打算从全体学生中按1%的比例抽取学生进行调查，则比较适合采用的抽样方法是（ ）.

A.系统抽样法 B.分层抽样法

C.抽签法 D.随机数表法

思路分析：根据抽样的目的与抽样方法的特点综合来判断与选择.

解：因为抽样的目的与各学段的学生有关，所以从全体学生中抽取1%应该用分层抽样法，按各学段学生所占的比例进行抽取，故选B.

方法点拨：求解此类问题的关键是分清简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的特点.简单随机抽样是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取，此种情况下一般要求总体中个体数较少；而系统抽样的特征是总体一般有明显的平均分成几部分，此时按照事先确定的规则，分别在各部分中有规律地抽取，样本分布比较均匀；分层抽样是将总体分成几层，按各层个体数之比进行抽取，样本有较强的代表性.明晰这三种抽样方法各自的特点，即可顺利破解此类问题.

2.总体分布的考查

例2 图1是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）.

图1

A.84，4.84 B.84，1.6 C.85，1.6 D.85，4

思路分析：通过读取茎叶图，确定七位评委所打出的分数，进而去掉最高分93，最低分79，再利用剩下的数据求解平均数与方差即可.

解：去掉最高分93，最低分79，平均分为84+86+84+87）=85，方差（86-85）2+（84-85）2+（87-85）2］=

故选择答案：C.

结论总结：我们知道，茎叶图可以非常直观地将数据有条不紊地罗列出来，可以从中直观地观察到相应数据的分布情况.在高考中，对茎叶图部分经常考查的有：（1）通过对茎叶图的分析与判断，用于解决茎叶图中的数字问题、数据信息汇总问题、数据的分析判断问题等；（2）茎叶图的绘制与应用等.

3.总体特征数的考查

例3已知某个总体中每个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，21，且这列值的中位数为10，若要使得该总体的方差最小，那么ab=______.

思路分析：根据中位数的概念得出a+b的值，再结合平均数公式与方差公式，确定相应的代数式的最小值，最后结合基本不等式加以判断方差的最小值问题.

解：由于总体的个数为10个，根据中位数的概念可知a+b=10×2=20.

解题攻略：众数、中位数和平均数这三种最常用的数字特征，其主要提供关于样本数据的特征信息，可以从不同的侧面反映数据的分布状态.而标准差或方差则是用来考查样本数据的分散程度，标准差或方差越大，对应的数据的离散程度越大；标准差或方差越小，对应的数据的离散程度越小.特别地，在样本数据的平均数相同的条件下，经常通过考查标准差或方差来进一步分析数据的离散程度.

四、统计的复习策略

1.回归教材，夯实基础

（1）准确理解相应知识的本质，重视对相关概念、定理等的理解和掌握.如“三方法”（三种抽样方法），“一表六图”（频率分布表，频率分布直方图和折线图，扇形图，茎叶图，饼图，散点图），“三数一方程”（平均数，方差与标准差，相关系数，线性回归方程）等.

（2）注意解题方法和解题规律的总结与应用.如利用平均数、方差或标准差，以及线性回归方程来解决数据问题，进而得以合理决策与应用等.

（3）重视数学思想方法和数学素养的应用.统计富含数学思想方法，如数据分析，数形结合思想，化归与转化思想等，经常用来解决一些相关的统计及其应用问题.

2.吃透例（习）题，注重变式

近几年的高考中，特别是对统计部分知识的考查与应用，以基本题为主，命题主要是立足教材，适当变形，适度整合，拓展提升，同时渗透相关的数学思想方法，这已经是高考命题的一个常态.因而，在统计的复习过程中，应万变不离其宗，好好吃透教材的例（习）题，并在此基础上加以适当变式探究就显得尤为重要.

3.跳出题海，培养素养

在高考复习中，一定量的练习是非常有必要的，但不能盲目地陷入题海当中，要注重“一题多解”“一题多变”与“多题一解”等的学习实践，养成变式思维，跳出题海，注重对经典题型的变式训练.在此基础上，不断提高数学运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力等，从而提升思维，培养数学核心素养.