关注数列交汇题，提升数学探究力

☉江苏省无锡市第一女子中学 欧 凯

随着教育改革进入深水区，高考数学试题命制的特点也逐渐侧重对学生数学核心素养的考查，注重在知识的交叉点和结合点处寻找命题思路，体现了数学知识之间的纵向和横向的有机联系，考题逐渐往“桃李嫁接”的方向发展.下面就等差数列及等比数列与其他知识相融合的一些题型进行分类解析.

一、数列与文化知识的交汇

“数学文化”的观念贯穿高中数学标准的每一个部分.“数学文化”让数学课程的教学内容变得丰富而有内涵，数学文化材料中蕴含着理性思维，也蕴含着数学智慧.例如必修5“教育储蓄的收益与比较”中介绍了数学的应用，“斐波那契数列”则展现了数学世界的丰富多彩与无穷趣味.

例1在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成（如图1所示），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是______.

图1

解析：因为最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则每圈的石板数构成一个以9为首项，以9为公差的等差数列，所以an=9n.当n=9时，第9圈共有81块石板.所以前9圈的石板总数

故答案为405.

点评：数学文化是人类文化的重要组成部分，高中数学必修教材中设置了许多有关“数学文化”的材料，探究这些“数学文化”，可以有效提高人文素养.感悟数学文化中所包含的数学思想、数学方法，可以最大化地实现数学文化应有的教育价值.

二、数列与线性规划知识的交汇

数列与线性规划知识的交汇，主要体现在以不等式及线性规划知识为载体，以可行域为背景，为数列运算提供所需要的数据，解题的关键是熟悉线性规划知识和相关模型的求解方法.

例2若x，y满足约束条件等差数列{a}满足a1=x，a5=y，其前n项为Sn，则S5-S2的最大值为______.

解析：因为等差数列{an}满足a1=x，a5=y，所以d

图2

如图2所示，平移目标函数，当过点A时，在y轴的截距最大，此时z最大，

点评：本题主要考查了等差数列的求和公式和线性规划在求解目标函数的最值问题中的应用，属于中档题.解题思路可先根据等差数列的性质和求和公式得到然后画出约束条件的可行域，求出z的最大值即可.

三、数列与函数的交汇

等差数列与函数的交汇，主要是以函数为载体考查等差数列的计算问题，解决这类问题的关键是掌握等差数列以及函数的性质.

例3已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{xn}是一个公差为2的等差数列，满足f（x7）+f（x8）=0，则x2017的值为______.

解析：设x7=x，则x8=x+2.

因为f（x7）+f（x8）=0，所以f（x）+f（x+2）=0.

结合奇函数关于原点的对称性可知f（x+1）=0=f（0），即x+1=0，所以x=-1.

设数列{xn}的通项xn=x7+2（n-7）=2n-15，

所以x2017=2×2017-15=4019.

故答案为4019.

点评：本题主要考查数列的性质以及函数的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用.

四、数列与向量的交汇

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.数列与向量的交汇融合主要是借助向量的几何意义建立起数列中各项的关系来进行求解.求证：{|an|}是等比数列.

点评：本题主要考查了平面向量模的运算及等比数列的知识，熟练掌握等比数列的概念是解决本题的关键.向量的坐标是数列，而目标是向量的模，因此可以利用模运算建立起|an|与|an-1|的关系，然后再加以判断.

五、数列与三角知识的交汇

三角函数是一种基本初等函数，也是进一步学习的基础，三角函数与其他知识的交汇主要体现在三角函数的运算工具性上，例如借助三角函数的辅助角公式、两角和与差的运算公式等，将数列的性质和求解融于其中.

例5将函数3π）在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}（n∈N*）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式.

所以Tn=π［（2n-3）·2n+3］.

点评：数列与三角函数的交汇问题主要是以数列作为一个条件，这类问题在三角形问题中较为常见，解决这类问题主要是运用等差中项或等比中项的知识.涉及的题目类型主要有下面四种：①角A、B、C成等差数列型；②角A、B、C成等比数列型；③三边a，b，c成等差数列型；④三边a，b，c成等比数列型.

总之，对数列交汇题的归类分析与探讨，可以贴近新高考的命题趋势，也能有效地培养学生的逻辑思维能力和推理能力.