浅析一道以物理为背景的数学建模题*

☉广东省中山市第一中学 陈国祥

数学建模是指对现实生活中的实际问题提炼抽象，建立数学模型，求解数学模型，验证合理性，并用该数学模型得到的结论来解决现实问题.本文的背景来源于一道初二的物理题目：“飞机在轰炸目标时，要怎样才能命中目标？”常规的解答过程是在不考虑空气阻力的理想状态下进行的，其结果是炸弹作平抛运动，轨迹为抛物线.显然，在实战过程中，空气阻力是不能被随意忽略的因素.笔者将对本题在更贴近客观实际的情况下对弹道轨迹进行数学建模，分析探究空气阻力对弹道运动轨迹的影响.

首先，在空气中运动的物体，将受到空气阻力.在空气中如果速度低于2.5M（M即马赫是速度单位，1马赫即1倍音速，在空气中大致约为1200km/h，即340米/秒），基本上可以认为空气阻力f与物体最前方与空气接触部分的面积S（在此我们姑且简称为阻风面积，以下同）成正比，阻力系数k≈2.937，同时阻力还与物体运动的速度V成正比，即f=2.937SV.当其在空气中的速度高于2.5M（马赫）时，由于空气的摩擦，开始出现气动加热现象，其空气阻力一般可视为由于飞机在轰炸目标时的速度一般低于2.5M（马赫），为了简便起见，我们可以认为空气对子弹的阻力与子弹的速度成正比，阻力系数为a（a=2.937S），其方向与子弹的速度方向相反，即f=aV.

其次，设飞机的飞行高度为H，飞行速度为v0，炸弹的质量为m.如图1建立直角坐标系.设弹道的轨迹曲线为C，经过时间t运动达到点P（x，y），子弹在该点的速度为v.

图1

以下是我们模拟实战中的情形，并利用几何画板分别画出在不考虑和考虑空气阻力的两种情形下炸弹的轨迹曲线，通过图象观察两条轨迹曲线的关系，并计算出飞机在这两种情形下大概要提前多少米开始投弹才能准确地命中目标.

首先，我们来对飞机的各种参数进行预设：

1.飞行高度H：战斗机的飞行高度一般在8000至12000米之间，因为这个高度基本是在平流层，飞机飞行阻力小，省油.但是，飞机在投弹时为了能够更准确地命中目标，一般在较低的飞行高度进行投弹.为方便计算，我们不妨设战斗机投弹时的飞行高度为H=2000米.

2.飞行速度v0：根据前面的分析，我们不妨设飞机在投弹时的飞行速度接近2马赫，即约v0=600米/秒.

3.重力加速度g：为方便计算，我们取g=10米/秒2.

4.炸弹的质量m：不同的轰炸机所携带炸弹的质量不同，差距也比较大.B-52轰炸机的总起飞重量为221.35吨，可载弹27吨；苏-30轰炸机最大载弹量：6500千克，共60枚炸弹.抗日战争时期日军92式重轰炸机炸弹正规为2000kg，最大为5000kg；日军九六式陆上攻击机携带60kg炸弹12枚或250kg炸弹2枚或500kg或800kg炸弹1枚或800kg鱼雷1枚等.因此，炸弹质量的范围较大，绝大多数炸弹的质量m都在100与5000千克之间.

5.炸弹的阻风面积S：由于轰炸机炸弹的型号很多，质量大小差距很大，形状也各式各样，其阻风面积S也各不相同.通过对各种炸弹的研究分析发现，炸弹的阻风面积S大概可以在0.3～2m2之间.从而空气对炸弹的阻力系数a大约在1～6牛顿秒/米之间.

根据以上各类参数预设的具体值，我们来研究和计算飞机分别在两种情形下要提前投弹的水平距离x（假设在坐标系中飞机的飞行方向为x轴的正方向，且飞机在坐标系的原点开始投弹）.

1.如果不考虑空气的阻力，可以得到飞机的飞行高度H、飞行速度v0及提前投弹的水平距离x三个变量满足的函数关系式将v0=600米/秒，g=10米/秒2代入上式，可得

2.如果考虑空气阻力，根据上述计算，有：

在v0=600米/秒，g=10米/秒2不变的情况下，炸弹的运动轨迹显然与炸弹的阻风面积及炸弹的质量有密切关系.在此，为了更好地研究空气阻力对炸弹运动轨迹的影响，我们用以下两种特殊情形来计算飞机提前投弹的水平距离x的值：

（1）当m=1000千克，a=1牛顿秒/米，v0=600米/秒，g=10米/秒2时，

我们利用几何画板在同一坐标系下同时画出函数13○与函数14○的图像，如图2所示：

图2

从图2可知，当H=-2000米时，两种情形下飞机需要提前投弹的水平距离x没有什么差别，x≈12 000米.

（2）当m=100千克，a=3牛顿秒/米，v0=600米/秒，g=10米/秒2时，

我们利用几何画板在同一坐标系下同时画出函数13○与函数15○的图像，如图3所示：从图3可知，当H=-2000米时，两种情形下飞机需要提前投弹的水平距离x有较大差别，两者相差约为Δx≈12 000-9750=2250米.

图3

从以上分析可知，对于质量较大或阻风面积较小的炸弹，且对轰炸目标的精确度要求不高（如要对一座城市、一个机场、一个军事基地等）的情况下，空气的阻力几乎可以忽略不计；但对于质量较小而相对阻风面积较大的炸弹，或对轰炸目标的精确度要求很高（如要对一辆装甲车、一幢房屋、一座桥梁等）的情况下，空气的阻力是绝对不能忽视的.