基于学生数学抽象核心素养的培养策略

陈熙春

【摘要】培养学生数学抽象，以数学核心概念形成根基，以数学抽象概括能力形成为重点，以数学知识的“温故知新”为途径，以“做数学”为驱动力，促进学生提升数学抽象能力.

【关键词】数学抽象;核心素养;培养策略

【基金项目】本文系宁夏第五届基础教育教学课题“基于数学核心素养的高中数学教学实践研究”（课题编号：JXKT-ZS-05-078）的研究成果.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了六大核心素养.学生核心素养形成主要是通过后天的学习实现，通过接受教育来形成和发展的.学生核心素养的培养需要通过多种教育渠道实现，其中学科教学显然是核心素养培养的主渠道.核心素养究竟如何落地？笔者仅对课堂教学怎样培养学生的“数学抽象”核心素养谈谈自己的做法和体会.

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.数学抽象的特点决定了在数学教学中培养学生的数学抽象核心素养，应采取以下的策略.

一、以數学核心概念形成根基，让学生学会数学抽象

数学核心素养是在掌握数学知识的基础上在数学活动中逐步形成的.从数学抽象的四个“表现”看（形成数学概念和规则、形成数学命题和模型、形成数学方法与思想、形成数学结构与体系），数学概念又是最基本的.概念是思维的单元和细胞，概念组成命题，命题形成判断，数学方法和思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括.重视概念教学，提升概念教学水平，其中最切实的是抓住数学核心概念形成的教学，选取学生熟悉的典型实例，提供丰富材料，让学生经历完整的数学抽象过程，熟悉数学抽象的“基本套路”，在概念形成的数学中学会数学抽象.在数学概念形成的过程中可以大致这样划分：从辨别到概括为第一次抽象，表现为用自然语言表达的直观描述;概括后到形式化，完成符号表达为第二次抽象.

需要特别指出的是，在数学概念教学过程中，选取学生熟悉的实例，使抽象概念的数学教学具体化，仅仅是一种手段，其目的不仅是学好应学的概念，更重要的是认识数学抽象的实质，学会数学抽象的方法.数学概念是比较抽象和形式化的，尤其是高中数学概念，比初中数学概念的抽象性又向前大大迈进了一步.很多高中数学概念对学生而言，其抽象化程度比较高，非常不利于学生的理解.这些知识的传授，必须依赖具体的实际数学问题模型，进而思考问题的解决.

二、以数学抽象概括能力形成为重点，让学生领悟由特殊到一般的数学抽象方法

抽象概括能力是指从个别特殊材料中揭示出一般原理和共同特点的思维能力，它是学生建构、理解数学概念、定理、公式等知识的不可或缺的思维过程，其水平的高低直接影响着学生学习的过程和质量，反映了学生对数学知识本质的认知程度.抽象概括水平高，有助于知识的正向迁移，有助于发现蕴含于问题中的数学模型，有助于知识学习过程和问题解决过程的顺利进行.因为只有通过抽象、概括才能使人的认识由感性上升到理性，从而掌握事物的本质和规律.如果学生的抽象、概括能力提高了，他们的逻辑思维水平才会真正提高.因此，培养学生的数学抽象素养，在数学教学中适时进行由特殊到一般——数学模型化思维是一个有效的策略.

由特殊到一般的数学抽象概括就是将“数学材料数学化，发现不同对象的共同特征”.这种抽象概括能力可以在知识的发生、发展过程的探究中形成.

例如，函数单调性定义的探究过程.

在教学的过程中，如果教师直接给出函数单调性的定义，然后用例子加以训练，则留给学生的就只有知识和方法，但如果我们从单调性概念的形成过程人手，通过问题引导，让学生自己去探究函数单调性的形成过程，则留给学生的除了知识与方法外，还会多点什么吗？让我们先来看一看概念的形成过程：

问题1：对运动变化问题，最基本的就是描述变化的快与慢、增与减，我们把其中函数图像增与减的特征称之为“函数的单调性”，你能给出函数单调性的“直观定义吗”？

问题2：分析y=x2的增区间或者减区间中y随着x的变化而变化的过程，给出函数单调性概念的“描述性定义”.

问题3：在函数单调性的描述性定义中，怎样解释“随着自变量x的增大，函数值也增大”呢？如果对区间（a，b）上的任意x有f（x）>f（a），那么f（x）在区间（a，b）上单调递增这个说法对吗？请你说出理由.

这是单调性概念形成的关键问题，可以让学生充分地讨论.学生可举例或画图说明，上述结论是不对的.要解释在某区间上“随着自变量x的增大，函数值也增大”，只需比较任意两个自变量的函数值的大小即可，这样函数单调性形式化的定义呼之欲出.

上述过程中，学生从形数的关系人手，先是用变量之间的关系刻画了单调性的特征.然后用不等式给出了单调性形式化的定义，学生多出来的就是用不等式刻画单调性特征的概括能力.

引导学生在问题探讨中学会抽象概括是培养数学抽象核心素养的重要途径.在教学中可以采取以下方法：

（1）通过对实际问题的探讨，概括出数学概念的本质意义，如通过分析研究“表格法”“解析式法”“图像法”三种形式函数实际问题，从中抽象概括出其共同本质属性：两个非空数集间的单值对应.

（2）通过问题情境的创设与探讨，发现数学公式、公理、定理等命题.如设置问题情境：“在△ABC中，已知边b=4，c=2，∠A=60°，求边a的值.”经过生生互动、师生互动等形式，探讨出多种解法，如作AB边上的高，把a看成直角三角形的边长，将问题转化为解直角三角形问题;把a看作向量AB的模，将问题转化为向量问题;把a看成B，C两点间的距离，通过建系设点，将问题转化为解析几何问题.在上述探讨基础上，将问题一般化：“在△ABC中，已知边b，c和∠A，求边a的值.”沿着上述多种解法的轨迹，不难发现任意三角形的又一重要边角关系：“余弦定理”.

上述几方面的概括化活动，在日常课堂教学活动中，随时随地都有机会进行.教师要有强烈的“教学设计意识”，依据教学目标和任务的要求，精心选择、组织教学内容，认真分析学生的认知特点，科学合理地设计教学过程和学习活动，引导学生在问题的探讨中积极参与活动，在活动中不断提升概括能力.

三、以数学知识的“温故知新”为途径，让学生不断提高数学抽象能力

数学具有逐级抽象的特点，较高一级的抽象要依赖于较低一级的抽象.数学的这种逐级抽象性反映着数学的系统性.这种数学逐级抽象性的特点体现到数学学习过程中，就要重视数学知识的“温故知新”.例如，前面的一些概念没有学好，就难以学好依赖于这些概念抽象出来的更高一个层次的概念.因此，在学习新的概念时，必须及时复习以前的有关概念，为新概念的抽象创造必要的条件.这种方法既符合数学的发展规律，又符合学生认知的发展规律，既能加深对新知识的理解，又能从中领悟到数学抽象的层次性，不断提高数学抽象能力.

四、以“做数学”为驱动力，促进学生提升数学抽象能力

从数学的发展看，它本身也是充满着观察与猜想的探索活动.许多数学定理、性质、公式、法则的发现都经历了一个艰苦曲折的思维推理过程，教师应充分挖掘向学生展现“做数学”的过程.通过引导学生观察、动手操作、比较分析、猜想归纳，在“做数学”中学数学，获得数学学习的体验，并从中提升数学抽象能力.通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁;运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.

【参考文献】

[1]苏振新.基于数学核心素养的数学教学[J].中学数学：2017（17）：3-4.

[2]王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师：2016（9）：33-38.