“数值分析”课程中教学与科研的有效结合

邓重阳 张智丰 李亚娟

【摘要】根据数学专业本科生与研究生开设“数值分析”这门课程的实际情况，结合笔者的科研实际，从鼓励学生参与教师科研项目，引导学生申请科研项目，帮助学生利用相关教材知识发表科研论文三个方面，促进教学与科研的有效结合.

【关键词】数值分析;结合科研;教学

【基金项目】杭州电子科技大学2016年研究生核心课程项目（数值分析）;浙江省高等教育课堂教学改革项目（《数值分析》课程混合式教学模式的设计与实践）;杭州电子科技大学2018年度信息化课程建设项目（计算几何初步）.

数值分析（Numerical Analysis），又称数值计算方法，是一门研究并分析众多数学问题的数值计算方法和理论，进而能够用计算机程序来实现求解数学问题的课程.它是计算数学的主体部分，涉及数学的各个分支，比如，泛函分析、高等代数、算法设计等内容[1，2]，综合性非常强.数值分析的應用非常广泛.计算太空飞船的运动轨迹用到的常微分方程数值解、计算机模拟汽车撞击时用到的偏微分方程的数值解、股票、基金中计算市值或预测走势时用到的各种数值分析工具、保险公司精算分析时用到的数值软件、航空公司计算飞机架次的分配、票价的定义、机上人员的分配等用到的数值分析软件，都属于“数值分析”这门课程的内容.

“数值分析”的内容比较烦琐，有很多复杂的公式，其理论分析对学生的数学理论基础要求也比较高.这些公式适合计算机编程，但对学生的学习却造成了很大的麻烦.如何让学生记忆、理解、掌握这些内容，笔者尝试从教学与科研的有效结合入手来帮助学生学好“数值分析”.

一、鼓励学生参与教师科研项目

发挥科研项目的育人功能一直是高校教育教学工作中值得进一步探索的问题.由于“数值分析”应用的广泛性，几乎所有国家、省自然科学基金项目都会涉及“数值分析”的内容，所以把“数值分析”课程的内容结合到教师的科研项目之中是一个非常好的突破口.为了强化“数值分析”课的实践环节，加强学生的科研意识，笔者鼓励班级学生以“数值分析”课程的内容为基础参与教师的科研项目.通过引导学生利用教材中的知识点进行深入思考，理论验证，程序实现以及教师的点对点指导，使学生真正参与到科研项目的研究之中来.例如，笔者的国家自然科学基金面上科研项目“高阶连续的插值型细分方法及其局部算子的创建”（批准号：61370166）中在计算2n点插值细分法的新点公式时，需要用到“数值分析”中的经典内容：拉格朗日插值基函数.通过引导学生比较2n+2点插值细分法与2n，2n-2点插值细分法新点计算公式的异同，寻找它们之间的递推关系，从而构造局部算子来实现任意的2n点插值细分法.

二、引导学生申请科研项目

为进一步鼓励学生进行科学技术研究和从事发明创造，推动大学生科研能力的提高与科研意识的培养，省、学校和学院每年都会开展大学生科研课题立项申报工作.从参与教师的科研项目着手，调研学生专业背景，研究该方向与数值分析相关的热点问题及未来的发展方向，积极引导学生申请学院或者学校的学生科研项目，实现相应课题目标.学生可以从中真正了解如何从事科研工作，怎样从数值分析的基础知识入手，再进一步深入了解、掌握、计算、模拟、实现，直到最终完成一个科研项目.这个方法可以帮助学生更加清晰地了解“数值分析”这个专业课以及专业课在学生专业里的未来发展前景，为学生之后真正参与科研活动奠定一个良好又扎实的专业基础.近年来，已指导学生申请到浙江省新苗计划2项.

三、帮助学生利用相关教材知识发表科研论文

无论是参与科研项目，还是自己申请学生科研项目，很多情况下发表科研论文是需要完成的任务之一.比如，用迭代法解线性方程组是数值分析中很基础的理论知识，高斯-塞德尔迭代法（Gauss.Seidel，GS）更是迭代法中最经典的算法之一.在计算机辅助几何设计相关研究工作里，利用迭代法解决问题一直占有举足轻重的地位，其中，渐进迭代逼近（Progressive Iteration Approximation，PIA）是一种将数据点拟合成为曲线或曲面的技术.

在高斯-塞德尔迭代法的授课过程中，在考查PIA方法与解线性方程组的经典迭代法之间的联系时，笔者发现，如果每次迭代的时候，能把已经更新的点继续参与到迭代过程中去，高斯-赛德尔迭代法也可以看作是一种PIA方法.利用该算法的这种特点，即已经更新的点继续参与到迭代过程中来，以此来优化迭代过程，笔者引导学生把这个算法应用到非均匀三次B样条曲线的插值上来，开发了GS-PIA算法，该算法同时也具有渐进式迭代逼近方法的优点，比以前PIA方法的存储量更小，收敛速度也更快，而且具有非常明显的几何意义.

最后，引导学生利用教材相关知识给出了严格的收敛证明过程，若干结果已经被相关期刊发表或录用.作为理工科高年级本科或研究生的一门基础课，“数值分析”能与大量的科研问题及科研项目结合.笔者在这方面做了初步的尝试，也取得了一些可喜的成效.如何进一步把“数值分析”与科研实践相结合，充分发挥教学与科研的协同育人功能，是我们要进一步探讨的课题.

【参考文献】

[1]黄云清，舒适，陈艳萍，金继承，文立平.数值计算方法[M].北京：科学出版社，2009.

[2]李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社，2008.

[3]韩旭里.数值分析[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]刘晓艳，邓重阳.非均匀三次B样条曲线插值的GS-PIA算法[J].杭州电子科技大学学报，2015（2）：79-82.

[5]王志好，李亚娟，邓重阳.GS-PIA算法的收敛性证明[J].计算机辅助设计与图形学学报，2018（11）：60-66.