微课在高等数学教学中的设计与应用

武利猛，张娟，李素红

(1.河北科技师范学院数学与信息科技学院，河北秦皇岛 066004；2.河北科技师范学院科研处，河北秦皇岛 066004)

2008年，美国高级教学设计师戴·彭罗斯提出了微课概念。一般情况下微课教学的完成包含如下几个方面：首先是明确教学内容；其次是给出合理的教学设计；最后是完善视频，将教学视频与课程任务上传到课程管理系统[1]。初期，微课是以在线学习的形式参与到教学内容中，其时长一般为1～3min，主要目的是利用网络视频资源，引导学生对课上所学知识进行更好地理解，进而达到教学目的。在我国，微课教学随着网络技术的发达，已越来越多地深入到教学中来，对于提升教师教学和学生自学已起到不可或缺的作用[2]。国家已经成功举办了四届数学微课教学设计比赛，越来越多的高校教师参与到这项教学赛事之中，对于微课教学的发展起到了非常大的促进作用[3-6]。基于此，本文将讨论如何将微课教学应用于高等数学——以罗尔中值定理为例。

1 高等数学课程简介

高等数学是一门重要的基础理论课，通过学习使学生能够掌握函数极限与连续、函数微积分学(包括二重积分)、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和运算技能。通过学习，逐步培养学生具有较强的计算能力，抽象思维能力和逻辑判断能力，从而提高学生分析问题的能力。这门课程对于很多学生来说是有一定困难的，大致有如下两个原因：（1）高校在不断改革，高等数学课时少了很多，但是内容并没有太大变化，使得教师在有限时间的课堂上讲授的内容知识量多，学生接受起来有困难；（2）高等数学本身是一门逻辑性强，抽象的课程，知识前后连接特别紧密，如果学生复习、做练习不及时，课上会听不懂，降低了学习积极性。高校教师一般没有坐班制，因此学生如果有问题的话，只能等到老师下一次上课再问，这样在一定程度上削弱了学生学习效率。因此，对于高等数学这门课程来说十分有必要开展微课教学，这样学生会不断反复去学习某一个知识点，对于知识的理解起到非常好的促进帮助作用。

2 罗尔中值定理的教学设计

作者认为，微课作为一种有别于教室课堂教学的新型授课模式，要以其新颖、 科学的教学模式吸引学生，让学生在短时间内能够对于所学知识达到理解和掌握。教师在教学设计上应遵循如下原则：（1）教学设计要符合的教学安排；（2）教师更重要的任务是引导学生通过微课的学习能达到自主学习；（3）教学中一定要有例题和课后作业，这样能在一定程度上保证教学质量。

2.1 复习提问，设题引入(2min)

多媒体课件是微课教学的重要组成部分，利用多媒体软件可以将抽象的问题形象化，激发学生的学习兴趣，从而提高学习效率。遵照知识的连贯性，回顾旧知识，使得课程自然地过渡到新课的学习中去。首先引导学生回顾导数的几何意义，即函数y=f（x）在点x0处的导数值f'（x0）等于函数在点（x0，f（x0））处切线的斜率值。在本次课件设计过程中，笔者采用了Matlab 和几何画板数学软件进行编程，形象地演示了导数的几何意义；进一步画出函数sinx，x∈[0，2π]和cos，x∈[0，2π]的动态图像，引导学生从实例出发，发现正弦曲线在和处具有水平切线，而cos，x∈[0，2π]这一条曲线没有，进而借助于图像提出还有哪些曲线具有水平切线以及满足什么条件曲线就会具有水平切线，函数图像见图1。

图1 y=sin(x)和y=cos(1/2x)的图像

引导学生联想导数的几何意义，从而得出函数y=f（x）在点x0处的切线若是水平切线，则在该点x0处导数值f'（x0）=0。让学生继续观察函数sinx，x∈[0，2π]的图像，考察所给函数在指定闭区间上是否连续，开区间内是否可导，端点的函数值是否相等，从而引出本节课内容“罗尔中值定理”。

2.2 探索新知，讨论归纳(8min)

结合引例分析中抽象出的导数运算过程，给出完整的导数与可导的概念，即本次课的教学重点与难点。这里给出罗尔中值定理

定理（罗尔中值定理） 如果函数y=f（x）满足

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

（3）f（a）=f（b），

则在（a，b）内至少存在一点（ξ，使得f'（ξ）=0。下面分层次进行教学重点难点化解。

层次一：认识定理。

将定理条件核心过程简述为：闭区间连续，开区间可导，两端点函数值相等，三个判断过程，使学生对定理条件形成基本雏形。让同学们观察y=sinx 在区间[0，2π]上的图像，发现数学结论和图像性质是相符的，加深了学生对定理的理解。从宏观上，引导学生回顾导数的几何意义，同时指明罗尔中值定理的结论：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f'（ξ）=0 的几何意义为：至少存在一点ξ∈（a，b），有函数y=f（x）在该点的切线是一条水平切线。

例1：验证函数y=sinx 在区间[0，2π]上是否满足罗尔中值定理的全部条件，如若满足请给出结论中ξ 的取值?

这两个例子的给出，是为了让学生对于罗尔中值定理的条件和结论有一个非常清晰的认识，进而更好地掌握定理的条件和结论。

层次二：融入数学史，提升学习兴趣。

数学课堂一般都会很抽象，学生学习会感觉有一点儿枯燥，为了发挥学生主观能动性和拓展数学文化知识，在这里会简单介绍罗尔的个人背景资料以丰富课堂内容。

层次三：深化剖析。

例3：不求导数，判断函数f（x）=x（x-1）（x-2）的导数有几个实根，以及各个根的所在范围。

设置本例题主要有两方面的用意：（1）梳理所学知识；（2）将概念延伸到定理应用中，以不断激发学生的学习热情。

2.3 课堂小结，布置作 业(2min)

以提问的方式，和学生一起回顾所学知识，结合多媒体课件对其进行梳理，进而提炼教学知识点；布置作业。最后，会给学生设问：指出罗尔中值定理中三个条件是充分条件，三者缺一不可，请认真思考为什么。

3 结语

随着科学技术的不断发展，现代教育模式也越来越多样化。微课教学作为其中一种不断地在优化教学结构，提高教学质量。作为教师我们更应该巩固自己的主体地位，对教学模式进行创新，不断改善教学设计，从而提供更好的微课教学资源，让学生更好地理解和掌握知识。