两类阿贝尔Cayley图上的完全状态转移

2019-05-27张爱仙

西安理工大学学报 2019年1期

张爱仙，吉喆

(西安理工大学理学院，陕西西安710054)

完全状态转移(以下简称PST)对连续时间的量子步有重要影响，从而它在量子信息传输中有重要的应用。Bose在[1]中引入了量子网络中PST的概念，它是有限群的模拟。在2004-2005年，Christandel等[2]研究发现有两个顶点以及三个顶点的路，以及它们的笛卡尔幂在任意两个顶点之间有PST。Bernasconi等[3]得到有限个循环群Z2的直积上的gcd-图存在PST。Godsil在[4-6]中回顾总结了直到2011年PST以及几类图上周期的研究进展及结果，并分析了PST与代数组合，结合方案[7]等数学分支之间密切的关系。

此外，对距离正则图[7]，完全二分图[7]，Hadamard可对角化图[8]等图上的PST和周期的研究取得了大量的研究成果。Basic[9]和Cheung-Godsil在[10]中给出了循环图上(群G是循环群)存在PST的刻画方式。谭莹莹，冯克勤[11]给出了任意有限阿贝尔群上连通简单Cayley图(简称为阿贝尔Cayley图)上存在PST的刻画方式。本文中的计算方法和计算技巧受到了文献[12]中有限域上特征和理论的启发。

令Γ=(V,E)是连通简单图，其中V，E分别是Γ的顶点和边的集合，n=|V|≥2。A=A(Γ)=(αu,v)u,v∈V是Γ的邻接矩阵，定义如下：

(1)

由线性代数可知，A是n×n对称矩阵，且A的特征值均为实数，Γ的转移矩阵是以下方式定义的n×n的酉阵：

(2)

式中：u,v∈V，t∈R。

当u,v∈V，|Hu,v(t)|=1，则称Γ有在时刻t>0从u到v的完全状态转移(Perfect State Tranfer)，以下简称PST。此时也称Γ在顶点u是周期的，周期为t。

1 预备知识

令G是有限阿贝尔群，|G|=n≥2，S是G的子集，|S|=d≥1。Cayley图Γ=Cay(G,S)定义如下：

V=G(顶点的集合)

(3)

E={(u,v):u,v∈G,u-v∈S}(边的集合)

(4)

假设0∉S,-S=S(即Γ是简单图)，G=〈S〉(Γ是连通图)。Γ的邻接矩阵A=A(Γ)=(αg,h)g,h∈G，其中：

(5)

(6)

是A的特征值，且αχ为实数。

由有限阿贝尔群的结构定理可知，任意有限阶阿贝尔群G都可以分解为有限个循环群的直和，设：

G≅Zn1⊕Zn2⊕…⊕Znr(ni≥2)

(7)

其中Zni=(Z/niZ,+)。对每个x=(x1,x2,…,xr)∈G，其中xi∈Zni，有：

χx:G→〈ωe〉

(8)

(9)

引理1[11]令Γ=Cay(G,S)是阿贝尔简单Cayley图，n=|G|≥3。设Γ在顶点(g,h)之间有PST，则:

1)Γ是整图，即对任意x∈G,αχx∈Z。

2) 如果α=g-h≠0，则α的阶是2。

现在假设g,h∈G，α=g-h≠0。由引理1可知，如果Γ在g,h之间有PST，则对任意

下面介绍2-adic指数赋值v2的概念，v2是如下映射：

v2:Q→Z∪{}

(10)

1)v2(ββ′)=v2(β)+v2(β′)，

2)v2(β+β′)≥min(v2(β),v2(β′))，并且当v2(β)≠v2(β′)时，等号成立。

定理1[11]令Γ=Cay(G,S)是连通简单阿贝尔Cayley图，n=|G|≥3 ，d=|S|，则对g,h∈G，α=g-h≠0 ，Γ在g,h之间有PST当且仅当下列三个条件成立：

1)Γ是整图；

2)α的阶是2；

3) 对∀x∈G0，v2(d-αχx)≥m+1；

对∀x∈G1，v2(d-αχx)=m(m≥1)。

2 两类有限阿贝尔Cayley图上的PST

(11)

又有：

(12)

2.1 G=Z4⊕Z8上Cayley图存在PST

设S是G的子集合，计算这些等价类上的特征，计算结果见表1.

表1 G=Z4⊕Z8等价类上的特征

取α=(0,4)是G中的二阶元，很容易验证：

(13)

(14)

((d-χ0(S)),(d-χ1(S)),…,(d-χ9(S)))=(0,8,16,8,8,8,4,12,12,4)

(15)

((d-χ10(S)),(d-χ11(S)),(d-χ12(S)),(d-χ13(S)))=(10,10,10,10)

(16)

从而有：

v2(d-χj(S))=1,(10≤j≤13)

(17)

v2(d-χj(S))≥2,(0≤j≤9)

(18)

满足定理的条件，即Γ=Cay(G,S)中当g-h=α时，顶点g与h之间有PST。

2.2 G=Z8⊕Z8上Cayley图存在PST

S0={(0,0)}，S1={(0,4)}，S2={(4,0)}，S3={(4,4)}，S4={(2,0),(6,0)}，S5={(0,2),(0,6)}，S6={(2,4),(6,4)}，S7={(4,2),(4,6)}，S8={(2,6),(6,2)}，S9={(2,2),(6,6)}，S10={(1,1),(3,3),(5,5),(7,7)}，S11={(1,3),(3,1),(5,7),(7,5)}，S12={(1,5),(3,7),(5,1),(7,3)}，S13={(1,7),(3,5),(5,3),(7,1)}，S14={(1,0),(3,0),(5,0),(7,0)}，S15={(1,2),(3,6),(5,2),(7,6)}，S16={(1,4),(3,4),(5,4),(7,4)}，S17={(1,6),(3,2),(5,6),(7,2)}，S18={(2,1),(6,3),(2,5),(6,7)}，S19={(2,3),(6,1),(2,7),(6,5)}，S20={(0,1),(0,3),(0,5),(0,7)}，S21={(4,1),(4,3),(4,5),(4,7)}。

取α=(4,4)是G中的二阶元，则：

(19)

(20)

取S=S8∪S16∪S18，|S|=10，容易验证〈S〉=G。由表2可知：

v2(d-χy(S))=1,y∈G1

(21)

v2(d-χx(S))≥2,x∈G0

(22)

从而满足定理的条件，即Γ=Cay(G,S)中当g-h=α时，顶点g与h之间有PST。