如何提高初中数学解题教学效率

广东省东莞市光明中学 黄王华

数学家波利亚认为：学生思维的发展、能力的提高都要通过解题来习得。纵观身边一线教师对试题的评讲，对解题教学还停留在只为解决某个问题的水平，缺少题后反思，没有把问题教学提升到形成思想方法和解题策略的层面，因此教师的教育理论水平有待提高，教学方法也急待改变。

一、问题情境呈现，把握所需要的数学基本知识

近年来，广东省中考数学9分题中代数综合题考查抛物线知识的情况比较多，于是把涉及的考点及思想方法归纳起来做了这个模型：

【已知条件】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）。

【问题风暴1】求抛物线的解析式 （注：1.一般式：y=ax2+bx+c。2.交点式：y=a（x-x1）（x-x2））

求抛物线解析式是中考的常考考点，本题有多种解法，利用交点式解决计算量是最少的，如果使用一般式，计算量就大得多。压轴题中的9分题如果第一问计算出错，将会导致后面的几问全盘皆输。

解：∵抛物线经过点A（-4，0），C（2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2）。

∵抛物线经过点B（0，-4），∴有-4=a（0+4）（0-2），

当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母的值就可以了。另外，根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合寻求解题思路。

二、问题升级，针对考点归纳思想方法

“掌握数学思想和方法可以使数学更容易理解和更容易记忆，领会基本思想和方法是通向迁移大道的光明之路。”布鲁纳这样建议我们。因此，在解题教学中，我们要善于引导学生用数学思想方法找到思路。

【问题风暴2】对称轴上是否存在一点P，使得△BCP的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标。

要使△BCP的周长最小，根据其周长=BC+CP+BP，可以发现BC是固定的，所以就是要CP+BP的值最小，不难发现，本问题就是对称性问题了。所以P的位置确认是本题的关键。

解：∵抛物线经过点A（-4，0），C（2，0），

∴抛物线的对称轴为直线x=-1。

要使得△BCP的周长最小，即CP+BP最小，C点关于对称轴的对称点是点A（-4，0），直线AB与对称轴：直线x=-1的交点即为P点。

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴直线AB的解析式为y=-x-4，∴直线AB与直线x=-1的交点P的坐标为（-1，-3）。

本题是通常考法，但根据中考数学，也会出现其他类型的考题，表面看起来差不多，却发生了根本性的变化。

【问题风暴3】对称轴上是否存在一点P，使得PC-PB最大，如果存在，请求点P的坐标。

本题主要考查三角形的三边关系：两边之差小于第三边，所以直线BC与对称轴的交点就是P点的位置。

解：设直线BC的解析式为y=kx+b。

∴直线BC的解析式为y=2x-4。

∴直线BC与对称轴：直线x=-1的交点P的坐标为（-1，-6）。

【变异风暴3】对称轴上是否存在一点P，使得︱PA-PB︱的值最大？如果存在，请求点P的坐标。

本问题同样难点在于找P点的位置，只要位置确定，计算就不难，其实它是风暴3的变异。联系与转化的思想完全可以应用于数学学科中，数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。解题时如果能恰当处理，往往可以化繁为简。

三、考点升级，数学思想方法突显

在数学中，常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法是一种重要的解题策略。在解答题中，等腰三角形与相似三角形问题的分类讨论尤为重要，以下为例。

【问题风暴4】对称轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？如果存在，请求点P的坐标。

本题除了分三种情况进行分类讨论外，解法也是值得继续研究的，一种是代数方法，利用两点间的距离公式可以得到方程；一种是几何方法，分别把三种情况下的图形画出来，进行特殊情况的计算。

解：假设存在这样的点P，使得△ABP是等腰三角形，设P（-1，y），则会有三种情况：

（1）当AB=AP时，即AB2=AP2，即（-4-0）2+（0+4）2=（-4+1）2+（0-y）2；

（2）当AB=BP时，则AB2=BP2，则（-4-0）2+（0+4）2=（0+1）2+（-4-y）2；

（3）当AP=BP时，则AP2=BP2，则（-4+1）2+（0-y）2=（0+1）2+（-4-y）2。

【问题风暴5】点N为对称轴与x轴的交点，对称轴上是否存在一点P，使得△BOC与△ANP相似？如果存在，请求点P的坐标。

三角形相似的分类讨论问题主要在对应边上，通常这类题都会有一个条件是对应的，如本题首先就会有一个角的对应关系，那就是直角，接下来就是围绕直角的两边进行分类讨论，所以就分两种情况：

四、动点问题，几何问题代数化

动点问题对学生能力水平有较高要求，如果能够以静制动，把几何问题代数化，对于解题能力将会是一种质的提高。

【问题风暴6】在直线y=x+4上有一个动点P，过P作x轴的垂线交抛物线于点Q（P在Q点上方），求PQ最大值及P点的坐标。

本题的问题主要涉及动态最值问题，可以用代数的方法表示线段PQ的长度，要使PQ最大，只需要把PQ的长度表示出来。