探究几类递推数列的解题方法和技巧

贵州省毕节市赫章县第一中学 顾开鹏

一阶递推数列定义：对于任意n∈N+，由递推关系an+k=f（an+k-1，an+k-2，…an）确定的数列｛an｝称为递推数列（或递归数列），k为阶数。若f是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。

以下就介绍几种一阶递推数列的种类，并分析了求相应递推数列通项公式的方法。

一、一阶线性递推数列

本节阐述两种常见的一阶线性递推数列：

与等差数列求通项公式的方法相同，这类递推数列通项公式求解方法依然沿用叠加法。

例1：数列{bn}中，b1=2，bn+1=bn+cn（c是常数），且b1，b2，b3成公比不为1的等比数列。

（1）求c的值；

（2）求{bn}的通项公式。

解：（1）由题可知：b1=2，b2=2+c，b3=2+3c，因为b1，b2，b3成公比不为1的等比数列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2。

当c=2时，b1=b2=b3，不合题意，舍去，所以c=2。

（2）当n≥2时，由于b2-b1=c，b3-b2=2c，……bn-bn-1=（n-1）c，所以

又b1=2，c=2，故bn=2+n（n+1）=n2-n+2（n=2，3，……）。

当n=1时，上式同样成立，所以bn=n2-n+2（n=1，2，……）。

【类型评注】

求解这种类型的数列通项公式的方法叫作“叠加法”，这种方法是由高中数学教材中等差数列通项公式的求法演变而来的，将等差数列的递推式 an-an-1=d 拓展到 an-an-1=f（n），只要 f（0）+f（2）+f（3）+…+ f（n-1）是可求的，就可以由恒等式an-an-1= f（n）以n=1，2，3，…，n-1代入，得到（n-1）个等式，再将其累加而求an。

2．an+1=pan+q（pq（p-1）≠ 0）

在高考数学考卷中，这是一种较为常见的递推数列类型题，本节运用两种方法解出典型例题的通项公式。

定理（1） 已知递推数列a1=a，an+1=pan+q（pq（p-1）≠0），则通项公式为：an=[apn+（a-q）pn-1-q]/（p-1）。

以上定理的证明过程如下：

由an+1=pan+q（n≥1）得an=pan-1+q（n≥2），

所以an+1-an=p（an-an-1）（n≥2）。

所以数列{an+1-an}是首项为a（p-1）+q、公比为p的等比数列，由等比数列的通项公式可证。

我们可以利用初等代数中构造法的思想，通过设定一个待定系数来构造一个全新的等比数列，并求解出待定系数，从而借助等比数列的形式来求解出题目中原先的递推数列的通项公式。

解：由题可知：

所以，数列{ bn-}是首项为2-，公比为-1的等比数列，所以bn-=（-1）2，即bn的通项公式为bn=[（-1）n+1]。

【类型评注】

本题将构造法简化，我们就可以得出特征方程法，特征方程法将很多烦琐的推导计算过程都省略掉了，在缩短解题时间的同时，在很大程度上也避免了解题过程中出现错误的几率。

定理（2） 已知a1=a，an+1=pan+q，其中pq（p-1）≠0，称方程x=q+px为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x'（x'称为不动点），则有：

①当x'=a1时，数列{an}为常数列，an=a1；

②当x'≠a1时，数列{an-x'}是公比为p的等比数列，通项公式为：an=[apn+（a-q）pn-1-q]/（p-1）。

二、一阶非线性递推数列

一阶非线性递推数列主要包括以下几种类型，本节通过对这几种类型的典型例题进行求解来分析其通项公式。

【类型评注】

求解这种类型的通项公式的方法叫作“乘积法”，这种方法是由高中数学教材中等比数列通项公式的求法演变而来的，将等差数列的递推式拓展到，只要 f（0）·f（2）·f（3）·…·f（n-1）是可求的，就可以由恒等式以 n=1，2，3，…，n-1代入，得到（n-1）个等式，再将其乘积而求an。

2．an+1=f（n）+pan且 p（p-1）≠ 0，f（n）≠ c

bn，an2+bn+c（a≠0），kn+b（kb≠0）这三种形式是f（n）的常见形式。

例4：已知b1=1，bn+1=2an+3n-1，求{ bn}的通项公式。

解：首先构造出形式为{bn-αn-β}形式的等比数列，

使 bn+1-α（n+1）-β=2（bn-αn-β），

对应系数相等，所以α=-3，β=-2。

所以bn=5·2n-1-3n-2。

本文着重介绍了一阶递推数列求通项公式的方法，希望读者可以通过本文提出的例题并加以联系。相信在今后解题的过程中，可以准确快速地推导出相应递推数列的通项公式，并且通过本文对特征方程法和构造法的介绍与比较，我们也可以了解到这两种方法都是依托待定系数法推导出相应的通项公式。当然，当我们遇见不同类型的递推数列时，仍然应该选用最适合的方法解答题目。另外，采用其他方法对结果进行验证也是保证题目解答正确的有力措施。