全等三角形的教学策略

四川省宁南县三峡白鹤滩学校 廖万谦

中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等与相似，而全等是一种特殊的相似；最简单、最基本的几何图形是三角形，多边形的问题常常转化为三角形来解决。全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础，也是后面学习等腰三角形、四边形、圆等几何内容的基础。如何讲好全等三角形，突破几何证明这个重难点，培养学生推理论证的能力，是所有数学老师都想要解决的问题。

一、学生的易犯错误

在证明三角形全等的过程中，学生容易犯的错误包括：

1.不注意相等的线段或角是不是三角形的边或内角，忽略了线段或角的加减；有的学生知道要加减，但书写格式又不对。

2.不知道该证哪两个三角形全等。

3.不知道怎样添加辅助线。

4.书写格式不规范，推理过程不严密。

二、全等三角形的知识准备

首先，要避免上述错误，需要难点前置，在前面的教学中就要对角平分线的定义、角的加减、线段的加减、同角（或等角）的余角相等的证明、同角（或等角）的补角相等的证明、等量代换、平行线的性质与判定、三角形内角和定理与外角和定理的运用等知识非常熟悉，掌握扎实，才能在全等三角形的证明中一看到已知条件，就能得出相应的正确结论。

其次，加强对角的邻边、对边、夹边及边的邻角、对角、夹角等概念的理解，比较区分SAS或SSA、 ASA或AAS，避免乱用依据。

最后，在平移、旋转、翻折构成的全等三角形中，能熟练寻找到两个三角形的公共边、公共角、对顶角等隐含条件，特别要熟悉八字形、三直角模型图的相关证明。

三、完善全等三角形的教学细节

1．三点定形法找三角形

要证明两个三角形全等，至少要有一组边对应相等。如果有两组以上的边对应相等，那么两组边就能唯一确定两个三角形全等。如果只有一组对应边相等，那就有了三角形的两个顶点字母了，结合已知条件中的角，结合图形，再找一个字母构成三角形。只要三角形找到了，证全等也就完成了一半的工作了。当然，在写两个三角形的顶点字母时，一定要强调对应；运动型问题要注意分类讨论。

2．分析法与综合法的综合运用

学生拿到一道证明题后，第一遍读题就要在图上作好标记，“由因导果”，从已知条件出发，根据逐步的逻辑推理，能推出哪些结论要做到心中有数，这就是综合法；第二遍读题，“执果索因”，从问题出发，一步一步探索下去，最后找到已知条件，这就是分析法。在教学中，要注重对学生思维的训练，灵活运用分析法与综合法，能极大地提高解题的效率。

3．多次全等的证明

很多稍复杂一点的题型都需要证明两次、三次全等，才能解决问题。这就需要对知识进行综合把握，明白已知条件能证明哪两个三角形全等，问题需要证明哪两个三角形全等，从而找到中间的桥梁。

4．全等的证明思路

5．重视角平分线性质判定的运用

角平分线的性质可以直接用来证明线段相等，判定可以用来说明角相等，强调书写格式，利用性质与判定找到证全等的条件。

6．重视几何语言的描述

要想学好几何，必须做到文字、图形、符号语言的相互转化，特别是重视逻辑推理的过程，规范学生书写格式，通过强化学生的说促进学生的写。

7．补充不等关系的证明

让学生明白，证明边的不等关系，就要用到两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。如果不在同一个三角形中，利用全等进行边的代换。如果要证明角的不等关系，就要用到三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，同理进行角的转化。

8．引导学生归纳出证明线段或角相等的常见方法

证明两条线段相等：中点中线；线段的加减；等量代换；全等；等角对等边；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；

证明两个角相等：角平分线的定义；角的加减；等量代换；垂直；平行；同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等；全等；等边对等角；

四、全等三角形中的常见辅助线添加方法

1.构造公共边。

2.连接对角线（多边形常转化为三角形）。

3.有中线倍长中线（证倍分关系或不等关系）。

4.有角平分线常向角两边作垂线（证线段相等）。

5.有角平分线常向角两边截取相等的线段（证和差关系或不等关系）。

6.截长补短法（证和差关系或不等关系）。

其实，在三角形的教学中，上述辅助线的添加方法，都遵循一个原则，那就是通过平移、旋转、翻折来构造全等三角形。

五、注重解决实际问题能力的培养

人教版教材38页的例2，很多老师都喜欢直接出示例题，用刚学的边角边判定定理来证明这种方法的可行性。而我认为，该题应从培养学生解决实际问题的能力着手训练，可以创设情境，把教学重点转移到如何设计方案，构造出全等三角形，从而间接测量出不能直接到达的两点之间的距离。这样将为以后利用相似三角形进行实际测量打下基础，有助于提高学生的学习兴趣，强化数学与现实生活的联系，体会数学的基础性与实用性。