基于有界理性的非线性寡头动态价格博弈

董 海, 任 鹤, 乔若真

(1. 沈阳大学 a. 应用技术学院, b. 机械学工程院, 辽宁 沈阳 110044;2. 东北大学 机械工程学院, 辽宁 沈阳 110819)

寡头垄断是垄断与完全竞争之间的市场形态,市场对少数企业(寡头垄断者)具有支配性的影响.进入寡头垄断市场需要严格的条件,大部分市场份额被寡头企业所占据,最终形成激烈的竞争局面和高度的相互依存关系[1].当为竞争关系时,随着规模效应的产生,寡头企业的生产成本就会呈现出非线性增长的特点[2].但在实际情况中,往往不能完全预测市场的变化情况,由于市场信息的复杂性,企业将无法掌握市场的全部信息,因此,寡头企业采用有限理性进行决策,根据边际利润的变化来确定价格.近年来,双寡头博弈中两者之间的利益冲突问题得到了广泛研究.

法国经济学家Antoine Augustin Cournot于1838年最早提出寡头垄断市场竞争数学模型,即Cournot模型[3].该模型描述了企业的生产决策相互影响机制,但却没有提出相应的协调策略,最早的纳什均衡中的应用版本便是此模型.佟岩等[4]构建了一个基于博弈理论的技术创新激励约束的博弈模型,采取不完全信息动态博弈方法,分析了在信息不完全和不对称条件下各自追求自身效用最大化的行为对技术创新活动的影响.林剑修[5]对二期时滞的双寡头价格竞争模型进行复杂性研究,并建立了相应的价格博弈系统来帮助企业发展做出决策.文献[6]通过对双寡头Cournot-Bertrand混合模型进行动力学研究,发现产量调整速度和价格调整速度过快都可以引起市场进入对两寡头都不利的混沌状态.文献[7]研究了具有有限理性的寡头垄断模型的一般公式,研究表明动态博弈会导致复杂的诸如周期和混乱行为.文献[8-10]研究了具有非线性需求函数的有限理性双寡头博弈的复杂性问题,得出市场陷入混沌的主要原因是寡头追求利润最大化而调节自身产量策略.文献[11]研究了时变时延离散网络系统的稳定性问题,采用Lyapunov泛函数,并引入了松散变量技术,获得新的基于线性矩阵不等式的稳定性条件.文献[12]研究了对于连续切换模糊系统的静态输出反馈控制问题,提出了一种充分条件,该条件可以确保系统通过输出反馈鲁棒镇定,并验证了其有效性.

上述研究大多是致力于研究模型的复杂性,且大多采用线性的成本函数,但在实际市场上,提高每单位产量,价格往往进行非线性增长.本文以Bertrand模型为基础,研究双寡头价格竞争的动态博弈模型,构建了基于有限理性的非线性离散系统,分析了纳什均衡的存在性和稳定性.通过对该模拟系统进行动力学数值分析表明,调整控制参数可以有效调整系统的有序性和稳定性,实现混沌控制.

1 双寡头产品动态价格博弈模型

qi(t)=ai-bipi(t)+eipj(t).(1)

式中:ai,bi,ei>0,ai表示市场对产品i的最大需求量;bi为价格敏感系数;ei为差异化系数;i,j=1,2,i≠j.企业自身价格和交叉价格对市场需求的影响一般为0

式中,ci>0,i=1,2,ci为企业分别选择的产品价格.

πi为第i家企业在第t期的税前利润,由此各寡头企业的收益利润函数表示如下:

企业i第t期的边际利润为

则企业各自的边际利润如下:

假设博弈双方对上一期边际利润进行局部估算后再进行调整,即进行决策时采用有限理性预期.如果企业在第t期的利润为正,便在第t+1期提高产品价格;反之则降低产品价格.由此可得企业i在第t+1期的产品价格为

式中vi(i=1,2)为正常量,是企业的调整速度,在此博弈过程中,博弈均衡的稳定性和博弈结果都会受到产品价格的调整速度的影响.因此,对于系统(7)的动态模拟过程进行研究非常必要.在系统(7)中,令pi(t+1)=pi(t),i=1,2,动态双寡头利用非线性代数系统求解出模型的4个均衡点为

1.3.2 观察指标 SAP10-2模式偏差图分为上半侧、下半侧和六个区域，每个区域均计算平均缺损（aMD上半侧，aMD下半侧，aMD鼻上，aMD上方，aMD颞上，aMD鼻下，aMD下方，aMD颞下）。因模式偏差图的每位点数值单位dB为相对亮度单位，非线性，因此计算某区域视野平均缺损时需将模式偏差图的每位点数值（单位为dB）转换为反对数单位（1／L）后再求算术平均数。转换单位的公式为平均缺损（MD）1／L＝10（0.1×MDdB）。MD1／L数值越小表示视野缺损越严重。统计模式偏差图的68个位点中超过90%的SAP10-2异常受试者存在视野损害的位点编号与空间分布特点。

由式(8)和式(9)可以发现,调整速度v1、v2的变化不影响系统的纳什均衡点,系统(7)中不动点局部稳定性的研究取决于其雅可比矩阵的特征值.系统(7)中任意点(p1,p2)的雅可比矩阵J的形式如下:

将E3代入式(10),其雅可比矩阵的特征方程为

式(11)中λ为雅克比矩阵特征值,Tr(J)和Det(J)分别是雅克比矩阵的迹和行列式,其表达式如下:

Tr(J)= 2+v1(ρ1-2p1b1(b1c1+1))+

v2(ρ2-2p2b2(b2c2+1));

由于(Tr(J))2-Det(J)>0,即该特征方程有2个实根.雅克比矩阵的特征根十分复杂,需要借助Routh-Hurwitz判据来判断均衡解的稳定性,E3的局部稳定性的充要条件是其雅可比矩阵的特征值在复数平面内的单位圆上应同时满足以下3个条件:

(12)

式(12)定义了调整速度平面中的稳定区域,该稳定区域如图1所示.该区域是由具有正v1和v2的双曲线部分限定.纳什均衡点E3在稳定区域内稳定,然后通过倍周期分岔失去稳定性.

当参数取值为a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13.得出系统的纳什均衡点为E3=(0.461 9,0.509 8),此时分岔曲线分别在点(0.630 8,0)和轴v1相交,在点(0,0.832 7)与轴v2相交.厂商往往通过增大调整速度来增加收益,为了保证系统的稳定状态,两厂商的调整参数都应在该稳定区域内,否则整个市场将处于混沌状态.

图1纳什均衡点E3的稳定区域

Fig.1TheregionofstabilityoftheNashequilibriumE3

2 数值仿真

为了说明非线性双寡头博弈解的定性行为,对系统(7)动力学演化进行数值模拟分析,以此探明系统(7)的纳什均衡的稳定性和倍周期分岔路径对系统混沌的影响.在模拟中,将价格调整速度v2设为可控参数,其他参数值设为a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.3.图2为调节速度v2的分岔图.从图2中可以看出,当v2较小时,系统稳定,当v2增加时,系统变得不稳定,出现分岔,甚至混沌.

图2系统解的分岔图

Fig.2Thebifurcationdiagramofthesolutionsofthesystem

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.3.

图3～图8显示出与系统(7)中的参数有关的分岔图.从图3和图4中可以看到纳什均衡点E3对a1,a2为较小值时,系统(7)是局部稳定的.当a1,a2增大时,纳什均衡点变得不稳定,发生复杂的动态行为,包括高阶周期分岔和混沌.

图3系统关于参数a1的分岔图

图4系统关于参数a2的分岔图

Fig.4Thebifurcationdiagramofthesystemwithrespecttoa2

a1=2.3,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,
c1=0.15,c2=0.13,v1=0.09,v2=0.085.

图5和图6是关于参数b1和b2的分岔图.可以看到,当b1和b2较小时,系统出现动力学特征;当b1和b2增加时,系统(7)经历混沌和周期减半分岔.从图7和图8观察到纳什均衡点E3对于参数c1和c2为适当值时,系统(7)局部稳定.从纳什均衡点来看,随着c1和c2减小,存在周期减半分岔.当c1和c2从纳什均衡点增加时,系统动力学是混沌的.

图5 系统关于参数b1的分岔图

图6 系统关于参数b2的分岔图

图7 系统关于参数c1的分岔图

图8系统关于参数c2的分岔图

Fig.8Thebifurcationdiagramofthesystemwithrespecttoc2

a1=1.5,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,v1=0.09,v2=0.085.

奇异吸引子是系统混沌运动的主要内在特征,它反映了混沌状态下复杂现象的内在规律.奇异吸引子具有不同属性的内外2种方向,在其外的所有运动都趋向奇异吸引子,属于相对稳定的方向;所有到达奇异吸引子内的运动都相互排斥,相对属于不稳定方向.因此,当系统处于混沌状态时,企业可以根据其内在规律预测短期内的市场价格是否为混乱竞价,即只有当两个企业的市场价格p1和p2不在奇异吸引子的轨道上时,市场的竞价模式为稳定状态;否则,整个市场将处于混乱竞争的局面.图9～图11分别表示系统(7)对于v1=0.3和v2为不同值时的奇异吸引子的变化情况,与图2中系统(7)关于v2的单参分岔图相对应.从图9～图11中可以看到分岔过程,随着v2取值的不断增大,分形结构变得清晰,当v2=0.3时系统是稳定的;图10中,当v2=0.55时系统发生2倍周期分岔;从图11可看出,当v2>0.75时系统完全进入混沌状态.

吸引子的图像也趋于完整.图9中,

图9 v2=0.3时系统的奇异吸引子Fig.9 The strange attractor for the system whenv2=0.3

图10 v2=0.55时系统的奇异吸引子Fig.10 The strange attractor for the system whenv2=0.55

图11v2=0.75时系统的奇异吸引子
Fig.11Thestrangeattractorforthesystemwhenv2=0.75

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.3,v2=0.75.

混沌系统的另一个内在特征是对初值条件的敏感程度,对价格的初值敏感性.图12、图13分别为v1=0.3,v2=0.69时,系统的初始价格p1为(0.461 9,0.462 0)和p2(0.509 8,0.509 9)时的价格的时间历程图.从图12中可以看出,开始显示每个变量的2个轨道之间是不可区分的,但经过一系列迭代之后,差异变得明显.由此可知,价格初始值发生微小变化会对系统结果产生显著影响.

可以通过系统时间历程图来检验系统

图12 v1=0.3时系统对初值条件p1的敏感性

图13v2=0.69时系统对初值条件p2的敏感性

Fig.13Sensitivedependenceofsystemoninitialconditionsp2whenv2=0.69

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,
e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13.

3 混沌控制

通过数值模拟,观察到调整速度v1和v2极大地影响了系统(7)的稳定性.如果参数在稳定区域内无法定位,则系统的动态行为将非常复杂和混乱.混沌在经济系统中的出现是不可预料的,甚至有害.在某种程度上,应该避免或控制系统混沌,使动态系统能够更好地运行.

为了抑制原动态系统(7)混沌行为的发生,使用参数变化方法控制系统的混沌,使其恢复稳定状态.将系统(7)添加控制参数u,即将其转换成以下受控系统:

(13)

受控后系统(13)的雅克比矩阵J的形式如下:

令v1=0.7,v2=0.7,将参数a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,ρ1=0.147 6,ρ2=0.059 9代入得:

该雅克比矩阵的特征方程为

λ2-Tr(J)+Det(J)=0,

式中Tr(J)和Det(J)的表达式分别为

根据Routh-Hurwitz判据可得:

(14)

式(14)保证了受控系统(13)纳什均衡点的稳定性,解得u>1.659.图14是受控系统(13)对混沌状态添加控制参数u后,改变控制参数u的分岔图.从图14可以看出,随着u增大,系统逐渐摆脱混沌,倍周期分岔逐渐消失,走向稳定趋势.当控制参数u>1.659 时,完全呈现稳定状态.这意味着当市场处于混乱竞争状态时,企业可以使用改变参数变化的控制策略,通过改变控制参数来控制调整速度,从而使市场能快速的从混沌中恢复有序、稳定的竞争局面.

图14系统控制参数u的分岔图

Fig.14Thebifurcationdiagramofthesystemwithrespecttou

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.7,v2=0.7.

4 结 论

本文通过构建一个非线性双寡头动态价格博弈模型,研究基于有限理性预期的博弈双方价格决策问题,分析了均衡点的稳定性、分岔和混沌行为,并对这些现象进行了数值仿真.

(1) 系统的稳定区域取决于各个参数的取值,在特定参数范围内,为了保证市场的稳定性,产品价格的调整参数应处于稳定区域,否则市场价格将产生巨大波动.

(2) 同时考虑企业利润和市场份额的情况下,在一定区域内,为了抑制产品价格的浮动,可以在边际利润大于0时,通过增大边际需求,调整价格调整参数来提高系统稳定性。

(3) 对混沌状态的系统使用参数变化控制表明,企业可以通过改变控制参数来控制调整速度,从而使市场恢复有序、稳定的竞争局面.