任意阵列形状的欠定多目标方位估计

刘亚萍,罗 建,聂宜召,赵亚磊,张海涛

(西北工业大学 航海学院,陕西 西安 710072)

0 引言

阵列信号处理是现代信号处理的一个重要分支,在近40多年来得到迅速发展,其应用涉及雷达、通信、声呐、地震勘探、射电天文以及生物医学工程等众多军事及民用领域[1]。信号的来波方向估计是阵列信号处理的一个重要研究方向,定位技术更是广泛应用在航空、航天、航海、交通、勘测、导航等领域[2-4]。空间谱估计是阵列信号处理技术中的重要研究内容之一[5-7]。实际工程应用中,算法的硬件平台实现复杂度与阵列模型和阵列信号处理算法具有密切联系,其中阵列模型要由实际应用环境确定。

通常对于固定的阵列形式来说,线阵只能对阵列所在直线为界的半个平面进行空间谱估计,面阵可以在整个平面对目标进行估计,也可以对阵列所在平面为界的半个空间进行估计,只有空间立体阵才可以对整个空间内的目标进行空间谱估计。目前对二维及空间阵列(如圆阵、平面阵、共形阵等)的研究工作已相对比较成熟且取得了丰硕的成果[8-9],也拥有了比较成熟的信号处理算法。在现实水下环境中,探测系统受水下环境各种因素的影响,布放的阵列模型往往是由具体平台决定的任意形状,因此本文采用一种任意空间阵列模型进行空间任意目标信号源估计,具有较高的应用灵活性。

高阶分析已经广泛应用到信号处理中的各个领域,四阶累积量因其具有优良的特性,比如其独特的阵列扩展性,能在较少的阵元数情况下估计出更多的目标信号源数,能够实现欠定情况下信号波达方向角估计,即是在较少的阵元情况下估计出相对较多的信号来波方向。在工程应用上其硬件平台实现可较为简化,更符合水下复杂的环境应用。

1 任意空间阵列数学模型

声学定向技术的发展速度非常快, 其应用也越来越广泛[10]。阵列信号处理中由N个声传感器阵元组成的阵列,可以得到N-1个独立的时延,而要确定整个空间内声信号的空间方向至少需要4个空间阵元。

当目标信号源为窄带信号且距离阵列足够远时,即信源位于阵列的远场范围时,可假设阵列接收的波形为平面波。远场窄带信号的包络变化缓慢,可以不考虑阵元接收信号的幅度差异,仅考虑相位差。设空间任意位置的n个信源Ti(i=1,2,…,n)和m个传感器Pj(j=1,2,…,m)组成空间任意阵列模型,其中n＜m。如图1所示,T1、T2…Ti表示空间内信源;P1、P2、PM表示空间中的阵元。以参考阵元P1为坐标原点建立坐标系,不妨设传感器pj的位置坐标为(xj,yj,zj),信源Ti波达方向的方位角(在XOY平面的投影与坐标原点的连线与X轴正方向的夹角)为φi,俯仰角(与Z轴的夹角)为θi。

图1 空间阵列数学模型Fig.1 Mathematical model of space array

对应的传感器位置矢量为pj=[xj,yj,zj](j=1,2,…,m),信源Ti的单位方向矢量为

第j个传感器接收到来自第i个信号源的信号为

式中:τij为相对于参考阵元S1接收信号的时延;Pi1(t)为参考阵元P1接收到来自第i个信号源的信号。由图1的几何关系可知:

式中c为信源波速。设第j个传感器接收到的环境噪声为nj(t),则第j个传感器接收到的信号为

若定义:

则式(4)可表示为矢量形式:

式中:A为信源的方位流型矩阵;a(θi,φi)为信源的方向矢量。式(6)即为空间中任意阵列对多个信源相应的数学模型。

2 四阶累积量算法

常用的高阶累积量有三阶累积量和四阶累积量。但三阶累积量很小且不具有对称性,对于对称分布的随机过程其三阶累积量为0,所以阵列信号处理领域常采用四阶累积量。四阶累积量在阵列信号处理领域具有不可替代的优良特性[11-12]。

零均值的复平稳随机序列{x(n),n=±1,±2,±∞}的四阶累积量定义为

当x(n)对称分布时,可知式(7)中的第3项的值为0。

设M个随机序列xk(n),k=1,2…,M;n=±1,±2,±∞均为零均值复随机序列,则M维复向量序列x(n)=[x1(n),x2(n),…,xM(n)]T的四阶累积量定义为

式中k1,k2,k3,k4∈{1,2,…,M}。

令τ1=τ2=τ3=0,则有:

3 四阶累积量的阵列扩展性

正定又叫超定,是指待估计信号源数小于阵元数。欠定就是阵元数小于信号源数。一般情况下当信号源数大于阵元数时,会严重影响DOA估计性能。在欠定情况下,估计目标方位一般从2方面着手:1)所使用的算法性能;2)阵列形状。由于本文研究的是任意阵列形状,所以着重分析四阶累积量算法性能。四阶累积量对阵列的扩展是基于四阶累积量的阵列信号处理算法的一个重要特点。设空间N个独立非高斯远场窄带信号入射到M个全向阵元组成的阵列上,空间信号相互独立,信号与噪声也统计独立,噪声服从高斯分布。由式(6)知阵列输出信号写成向量形式为

式中:X(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]为阵列输出向量;S(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]为空间信号向量;N(t)=[n1(t),n2(t),…,nm(t)]为噪声向量;A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θm,φm)]为空间导引向量;sm(t)为第m个空间信号;xm(t)和nm(t)为第m个阵列输出及噪声。

定义阵列接收数据的四阶累积量:

式中k1,k2,k3,k4∈(1,M)。随着k1、k2、k3、k4的变化,我们将得到M4个元素为了便于操作,可以将这M4个元素放入如下一个M2×M2的矩阵R4中:

可以证明,当信号相互独立时,对于式(12)定义的四阶累积量,可以得到:

式中⊗表示konecker积,又叫直积或张量积。向量a∈Cn,向量b∈Cm。则:

式(14)说明,对于原真实阵元所对应的阵列导向矢量,阵列扩展后的阵列导向矢量为

图2 空间阵元位置Fig.2 Location of space arrays

假设空间存在3个真实阵元,以原点处的阵元为参考点,如图2所示。由阵列信号的数学模型可知,如果参考阵元接收空间某一个静态信号的数据为

则有:

式中:u为信号传播矢量;px为x阵元与参考阵元的位置矢量;py为y阵元与参考阵元的位置矢量。针对图2所假设的空间阵列,式(13)所描述的阵列扩展后的阵列导向矢量可写成:

图3 阵列扩展特性Fig.3 Features of array extension

从式(19)可以清楚地看出式中的第4、6、7、8项中的阵元是扩展出来的(即为虚拟阵元),而其它5项对应的阵元与真实阵元的位置重合,且扩展出来的位置如图3所示。图中●表示真实阵元,〇表示虚拟阵元。从图3中可以清楚地看出图2中的3个实际阵元采用四阶累积量后得到的扩展阵列共有7个阵元,其中4个阵元为虚拟阵元。需要说明的是,上述的分析都是基于式(10)定义的四阶累积量矩阵推导出来的。得出四阶累积量可以从2个方面实现阵列扩展:1)展宽阵列的有效孔径,使得测向性能得到提高;2)增加有效的阵元数目,这是突破传统信号处理算法对入射信号数限制的根本。如果采用不同的方法构造四阶累积量矩阵,将会得到不同的分析结果。

4 基于四阶累积量的MUSIC算法

由四阶累积量的定义及信号数据模型可知,当采用如下累积量定义:

且构成矩阵的第(k1-1)M+k3行及第(k2-1)M+k4列的值为C4x(k1,k2,k3,k4)时,有:

且

假设空间中有N个独立的信号源,那么阵列接收到的数据矢量X的秩为N,那么X⊗X∗和X⊗X的秩为N2。

如式(20)所示,可以直接将MUSIC方法推广到四阶累积量的阵列信号处理。如果信号源之间互相独立,即可以对组成的协方差矩阵进行特征分解,从而获得大特征值对应的信号子空间和小特征值的噪声子空间。利用2个子空间的正交性,得到基于四阶累积量的MUSIC功率谱函数

由以上的描述过程我们不难看出,基于四阶累积量的MUSIC方法与传统的MUSIC方法相比较,有下列优越性:1)能够完全抑制高斯噪声;2)基于累积量进行处理,阵列孔径扩大了一倍,提高了角度估计的分辨率和精度,增加了能估计信源的个数,在阵元数目一定的情况下能估计较多的目标信号源。在一定应用场景中,尤其是水下目标估计工程中,各种复杂的环境因素要求阵元数目一定。该算法有较好的工程应用前景。

5 实验仿真

针对阵列信号的四阶累积量所具有的阵列扩展特性,基于四阶累积量方位估计方法,可估计多于二阶统计量估计方法的信号源数。采用如图4所示的空间四元坐标轴阵,针对基于二阶统计量估计方法无法估计的4个独立的空间信号源进行仿真实验,信源方向分别为(30°,150°)、(30°,-150°)、(120°,150°)、(120°,-150°)。实验中快拍数为512,信噪比为15 dB。采用四阶累积量MUSIC方位估计方法,实验结果如图5 所示。

图4 空间四元阵列结构图Fig.4 Structure of spatial quaternary array

图5 基于四阶累积量的空间谱图Fig.5 Spatial spectrum based on fourth-order cumulant

从实验结果可以看出,传统方法存在对信源数不能大于阵元数的条件限制。基于四阶累积量的MUSIC欠自由度方位估计方法适用于空间任意结构阵列,且能实现对数量大于等于阵元数的空间任意方向目标的方位估计,验证了结论的正确性。

6 结束语

本文介绍了一种任意阵元数的空间阵列数学模型,基于四阶累积量的MUSIC算法,分析了四阶累积量算法在阵列信号处理领域中的优良特性。把四阶累积量应用于阵列信号处理中,能够实现阵列扩展,且增加了虚拟阵元,扩展了阵列孔径,从而使得较之于基于协方差的算法能分辨的空间信源数目更多,测向性能得到提高,弥补了传统算法能分辨的信号源数目不能多于阵元数、对硬件复杂度和性能要求较高的缺点。任意阵列模型具有较高的灵活性,适用于水下任意环境的目标探测,能够很灵活地利用较少的阵元数去估计更多的目标信号源,使硬件结构得到简化,节约能源,在工程应用中具有很高的应用价值。通过对基于四阶累积量的MUSIC估计算法进行数值仿真,验证了该算法的可行性。