例谈数学发散思维与聚合思维的培养
2019-04-29陆建
陆建
摘要：本文针对当前教育界普遍重视发散性思维，忽视聚合性思维的现状，提出了课堂教学应该对两种思维方式给予同等关注的观点，并列举两则案例对此观点进行了解读。
关键词：发散思维;聚合思维;直线和圆的位置关系;直线与椭圆的位置关系
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2019）05-018-2
发散性思维，是指从一点向四面八方想开去，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。聚合性思维则是指从已知信息中产生逻辑结论，从现成资料中寻求正确答案的一种有方向、有条理的思维方式。它是一种有方向、有范围、有条理的收敛性思维方式，与发散思维相对应。
纵观当前课堂教学，教师往往对发散思维怀有极大的热情，对聚合思维却多有冷落，以致有时把“创新”与发散思维划等号。而实际上，发散思维和聚合思维是相辅相成的，两者不可偏废。国际上对于聚合思维的研究（代表人物是吉尔伯特）已经成果累累，在教学中加以借鉴是应该的。
一、一个简单的案例
案例1如何判断直线和圆的位置关系
教学中，我们通常会引导学生采用下面的两种方法。
方法一（基于观察）设圆心M到直线l的距离为d，⊙M的半径为r，则
l与⊙M相交d l与⊙M相切d=r（如图2） l与⊙M相离d>r（如图3） 方法二（基于推理）把直线l的方程和⊙M的方程联立，消去y（或x）得到一元二次方程，记判别式为，则 l与⊙M相交>0 l与⊙M相切=0 l与⊙M相离<0 这就是数学思维的常见形式：归纳和演绎。这里的两种方法都可以把相关问题“全部”解决掉，在学生看来都显得非常成功。但是我们知道，面对一组观察的对象（比如图1，2，3），人能够看到的东西其实很多（比如圆心、半径、周长、面积，直线的方向等等）。学生是如何忽略掉其他因素而只看到“位置关系”以及“点到直线距离”的？按常理，观察中最容易看到的是单个的事物，两个事物之间的“联系”则是不容易看到的。这只是得益于一个先决条件：学生的头脑里有一个观察目标。因为有了目标的指引，本来可以无限发散的实际观察就变得明确与集中，从而体现为思维的聚合性。方法二中面对两个方程，学生更不是去求出解来，而是把判别式的值用到位置关系的判断上……每一步中也都有明確的目的性。 不论归纳还是演绎，每一步思维的方向都可以很多，其中的比较、甄别、调控、接续、流转等无不需要主动的调控。思维的开阔性、灵活性之外还有深刻性与批判性，发散思维与聚合思维并重才能培养出良好的思维品质。 二、新方法的获得：发散与聚合的交互作用 案例1的两种方法，学生在情感上倾向于第一种（观察法），因为此法运算量也较小而且直观易懂。但是，老师们一般不会止步于此，他们要把两种方法全介绍给学生。遗憾的是，在老师讲“方法二”的时候，学生的态度往往是“哦，我知道了。”，在后继的解题活动中同学们仍然只愿意使用“方法一”。 任何时候，要让一个人在情感态度价值观上有所转变（哪怕是微小的转变），靠“告知”是没有作用的，这种转变只能来自他的主观意愿，而这只有让他们通过体验去感悟、领会才能实现。下面通过案例2来说明这一点。 案例2如何判断直线与椭圆的位置关系 把圆换成椭圆时，几何直观就已经失效了。教学中我们通常设直线方程y=kx+m，椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>0，b>0，a≠b），然后联立方程：y=kx+mx2a2+y2b2=1，消去y，得到一个一元二次方程，再利用位置关系与根的关系，实质上也就是案例1中的方案二。虽然此法比较麻烦，但是因为原来的“方法一”不能再用，学生也就只能予以接受（每个人的内心都是渴望成功的，此时使问题得以解决就是一种成功），但是其心中不免留有遗憾。 心中的遗憾就是一种情感冲突，如能转变为认知冲突，就可以成为新思维的触发点。教师的主导作用这时就应该发挥了：难道方法一真的行不通吗？椭圆和圆从形状上看是如此相似，应该有可能把我们所喜欢的方法一应用到椭圆上！这个扎根于学生数学活动经验的问题，对学生有着非常大的诱惑力！因为这是让他们做自己“喜欢”的事情。 那么，思维的方向是什么？肯定不能漫无目标，否则只能是茫然无措。抓住“从圆到椭圆”的背景变更，从其本源处入手就是很自然的选择。 探究1圆上的点到圆心的距离等于定长（半径），椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于定长（长轴长）。当椭圆渐渐“圆化”，两个焦点也就渐渐靠近。因此，我们不妨这样来认识椭圆与圆：当椭圆的两个焦点重合时，该椭圆就成为圆。 设圆方程为x2+y2=r2（r>0），椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0）。设l是圆的切线，则圆心O到l的距离为r是定值;设l是椭圆的切线，焦点F1，F2到l的距离分别为d1，d2，那么d1+d2有何特征呢？是定值吗？ 当切线l的方程为x=a时，d1+d2=（a+c）+（a-c）=2a， 当切线l的方程为y=b时，d1+d2=2b， 显然d1+d2不是定值，此路不通！换个方向再试试！ 当切线l的方程为x=a时，d1d2=（a+c）（a-c）=a2-c2=b2， 当切线l的方程为y=b时，d1d2=b2，是定值！有点激动人心了！于是我们不妨大胆地进行下面的： 探究2上面已经对特殊的直线进行了验证，为了把所有的直线包含在内，我们将研究下面的 猜想：设F1，F2是椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点，点F1，F2到直线l：mx+ny+p=0（m，n不同时为0）的距离分别为d1，d2，且直线l与椭圆M相切，则d1·d2=b2。 证明：联立方程组mx+ny+p=0x2a2+y2b2=1，消去y可得 （a2m2+b2n2）x2+2a2mpx+a2（p2-b2n2）=0（） =（2a2mp）2-4（a2m2+b2n2）a2（p2-b2n2） =4a2b2n2（a2m2+b2n2-p2）=0， 即a2m2+b2n2=p2。 因为椭圆焦点F1（-c，0），F2（c，0），其中c2=a2-b2，所以 d1d2=|-mc+p|m2+n2·|mc+p|m2+n2=|p2-m2c2|m2+n2 =|a2m2+b2n2-m2（a2-b2）|m2+n2=b2。 猜想得到了證明！探究成功。我们明确地看到了“思维方向”的重要性，如果没有方向的引领，则探究行动能否开始都是很可怀疑的。当然，反向是选择来的，在其背后有思维的发散性做依托。在整个过程中，发散和聚合是交织在一起的，有时很难分清彼此。 三、进一步的拓广 问题进一步发散为：定理1可逆吗？即 椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点F1，F2到直线l：mx+ny+p=0（m，n不同时为0）的距离分别为d1，d2，如果d1·d2=b2，那么直线l一定是椭圆M的切线吗？ 根据惯例，先用特例试一试。由此想法很容易就得到了如下的反：如图中，直线l过原点，当椭圆具有b 这个问题出在直线把椭圆的焦点分在两侧，此时直线与椭圆相交便是很自然的。老师们当然知道，这时因为点到直线距离的“无方向性”造成的，如果考虑到距离的方向性，上述距离一正一负，乘积只能是d1·d2=-b2。于是自然地把探究转向“F1，F2在直线l的同侧”的情形，而这在直观很值得期待。仿照探究2，很容易得到下面的结果： 设F1，F2是椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点，F1，F2到直线l：mx+ny+p=0（m，n不同时为0）的距离分别为d1，d2，且F1，F2在直线l的同侧。如果d1·d2=b2，那么直线l一定是椭圆M的切线。 至此我们就得到了用两个焦点到直线距离之积判断直线与椭圆相切的充要条件。很自然地（又是聚合思维），我们可以将之迁移到相交和相离的情形分别是d1·d2 四、新的方向：迁移至双曲线 又是思路的自然延伸，我们要探究双曲线的情形。几乎不需要再花非力气，我们就想到了下面的 定理：设F1，F2是双曲线M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点，F1，F2到不平行于双曲线的渐近线的直线l：mx+ny+p=0（m，n不同时为0）的距离分别为d1，d2，且F1，F2在直线l的两侧。那么 直线l与双曲线M相切d1·d2=b2; 直线l与双曲线M相交d1·d2 直线l与双曲线M相离d1·d2>b2。 以上是在老师引导下的学生探究活动，老师所引领的主要是聚合性的，而学生活动时则是聚合与发散相结合。正是这样的思维活动促进了学生创新能力的提高，也让他们体会到了发现的乐趣，体验到了自由思考的威力。因此，在日常的教学中，教师必须将发散思维与聚合思维并重，以培养学生的优质思维品质。 [参考文献] [1]王伟松.类比思想在高中数学教学中的运用[J].数学学习与研究，2013（09）. [2]孙四周.关于直觉与逻辑的三个微型实验[J].数学教学，2006（05）.
