猜想：让深度解题更浅显

卓元 张纯

摘  要：猜想，对于培养学生的科学素养有至关重要的作用，数学上好多的重大发现都是从猜想开始的。哥德巴赫猜想是数学皇冠上一颗璀璨的明珠，指引着众多科学家、数学家向研究的深度前进。笔者作为教师有责任在教学中培养学生的科学探究精神，猜想就是一种很好的途径。于是，从深度解题开始用猜想点燃学生内心科学探究的火焰，通过猜想唤醒学生内心科学探究精神，再去检验猜想，验证其科学性，即使猜想错误，但可以促使一个更好的猜想发生。

关键词：猜想;深度解题;科学探究;数学素养

猜想指猜测、猜度。语出《孽海花》中“……正在盘算和猜想间，那晚忽见间壁的兴高采烈的盛会……”一些完全没有的事物通过猜想可以使其存在，牛顿说：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。”足见猜想对科学发展的重要性。大家熟悉的数学界三大猜想（费马猜想;四色猜想;哥德巴赫猜想）就是面对现实进行猜测而生。猜想可以引导学生把现实问题深究化，使其在理解、懂的基础上更懂更理解，特别是在解决问题当中，对困难问题进行猜想，可以帮助解题更深入，更重要的是培养“数学家”式的科学探究精神。教学中教师适度适宜地引导学生猜想，并验证猜想，也就是弗赖登塔尔所说：数学“再创造”。猜想不是引导学生从源头解决问题，而是从问题的结论开始寻求本源、本质来揭露事物发生、发展等过程。学生在数学学习中经常“猜想”，谁敢断言其数学素养不能提升？

一、猜想是点燃科学探究火焰的种子

伟大的发现都是从猜想开始的。数学中的问题都有一个环环相扣的看似确定但又不确定的因素在其中，要想从一个问题生发出另一个新问题，猜想绝对是一个十分不错的好主意。所以，教学中适时地相机引导学生进行猜想，学生不会去做问题的终结者，而是做一个新问题的开拓者，会把“旧”的问题做深做大。

笔者在教学《加法交换律和加法结合律》（苏教版小学数学四年级下册第六单元）过程中，引导学生通过分析、比较、抽象、概括等理解并掌握了加法交换律（a+b=b+a）和加法结合律（（a+b）+c=a+（b+c）），并且能正确运用加法交换律和加法结合律解决实际问题。按照教学目标的要求，该教学已达成目标设计。但新的课程标准强调“要发展学生的数学素养”（2011年版），意指有必要引导学生在理解掌握知识的基础上体现价值。于是笔者对该教学进行延伸拓展。

师：今天，老师和同学们共同探究出加法交换律和加法结合律，发现同学们在运用其解决问题时相当熟练。同时老师有一个疑问产生了，在乘法运算当中，有没有乘法交换律和乘法结合律呢？

生：（學生左思右想）。

师：我们猜想一下：有，会使运算怎么样？没有，会使计算怎么样？

生：我猜，有乘法交换律和乘法结合律。二年级老师教我们乘法口诀时有这样的例子，如5×8是40，但8×5也是40，他们使用共同的口诀“五八四十”，通过观察5×8和8×5，其结果都是40，只是乘数的位置前边变后边，后边变前边了，这和我们学习的加法交换律不是一样的吗？所以，我认为有乘法交换律。根据加法结合律推断有乘法结合律，比如5×（2×7）这个算式是5×14等于70。如果是5和2结合得出10，再去与7相乘，直接口算出结果也是70，所以我认为有乘法结合律。

生：我的猜测和他是一样的，我认为有“乘法交换律”和“乘法结合律”。记得二年级时，老师教我们背诵一个“颠三倒四”版的乘法口诀表。因为同学们在使用乘法口诀计算时很顺溜，如8×9一看题目便想起口诀“八九七十二”，由此得出结果是72，但是遇到9×8时有的学生乘法口诀记忆不够灵活，于是到“九”的口诀里去找，却没有找到9×8的口诀，这时便容易出错，并且运算速度十分慢。针对这样的情况，老师为我们“创造”了一个“颠三倒四”版的乘法口诀表，无论是“八九七十二”还是“九八七十二”，结果都是72，只是乘数位置做了交换，其实这就是乘法交换律。乘法结合律的想法同它是一样的，也是那样猜想的。

加法有交换律和结合律，乘法有没有？给学生留下一个悬疑，留下一个猜测的空间。这就是挖掘学生的科学探究精神。虽然利用课间短短的几分钟听取了学生的猜想，他们有理有据地证明了自己猜想的正确性。哥德巴赫猜想也是这样的，任一大于2的偶数都可以写成2个质数之和。陈景润从有这样的偶数和素数开始，对筛法做了重要的改进后证明了“1+2”。学生在证明自己猜想正确性上，思维在不停地晃动，慢慢地进行碰撞，在碰撞中不停地“试误”，在“试误”中得出自己结论的正确。

数学上每一个问题都可以猜想，没出现的问题同样可以猜想。如你给我一棵树，我会还给你一个森林。一个不经意地抛出——猜想，却有了大大的意外收获，让看来深邃困难的习题从无从下手到转而变得浅显易明。学生在猜想当中不停地探索，研究自我猜想的正确性，慢慢地科学精神就在生根、发芽中成长起来了，这何愁不能提升数学素养呢？

二、猜想是科学探究的敲门砖

学生在实际解题当中，往往会出现这样的一些情况，对于简单的随手捏来的习题，认为有十成把握的顺手完成，完成之后从不深思，原因在于有十成把握的心理存在。对于那些思维跨度较大、知识综合性较强的习题，在学生初步思考之后，大部分学生会放弃或者胡乱写上结果，没有一个深度解题的良好思维与习惯。众所周知深度解题的良好思维与习惯一旦具备，将会为学生的终身学习与发展，垫起一个“撬起地球”的“支点”。所以，教学中引导学生进行猜想，帮助学生深度解题，犹如教会学生给玉米扒苞皮一样一层一层地揭开神秘面纱。

教学完《认识三角形》（苏教版小学数学四年级下册第七单元）后，就可以结合以前学习过的图形认识，让学生思维综合性得到提升，于是我出了一道有开拓性的作图题：在一个给定的三角形内画出一个最大的正方形，并且正方形的两个顶点在三角形的底边上，另外两个顶点在三角形的另外两条边上。对于四年级的学生来说该题并不难，很容易画出来。学生在构建图形当中内心只知道这样画是最大的内接正方形，但缺乏重要的理论与实践依据，即知其然而不知其所以然。这时引导学生据题目中条件与问题进行猜测是首要的任务。

教师带着学生一步一步地猜测着前进，在前进中就有十分接近答案的思路了。设若学生推测出第4个顶点的轨迹是一条直线，该题便迎刃而解了。所以，对一道习题的解决不在乎它的难和易，最主要是启动思维，使之有思路。通过猜测一步一步地摸索着前进，就会迎来恍然大悟式的“光明”。足见猜想犹是登山爱好者手中的登山镐，犹是奥运赛场上长跑运动员的助跑器。小学生爱幻想，让他们把幻想变为猜想，数学解题便不再那么难了，而是手到擒来的容易。

三、检验你的猜想

你的猜想一定是正确的吗？不，有时候也是错误的。错误的猜想不能使用，正确的猜想要经过检验。我们要认真对待自己的猜想，要全神贯注地对待由真正感兴趣的题目产生的那些猜想，这样的猜想往往会包含着真理的某个小片段，有时会显示出整个的真理。所以，对待自己的猜想要进行适当的检验，在检验的机会中提炼出整个的真理。虽然有时猜想被检验是错误的，但它对促使一个更好的猜想还是发挥着作用的。

我国古代有这样一个故事，一个人斧头丢了，翻箱倒柜也没有找到，但他看到邻居的行为比较古怪，就怀疑邻居偷了他的斧头。于是他不管怎么看邻居，都觉得自己的这个邻居像一个偷了他的斧头的小偷。过了一段时间后，他在家中一个僻静的角落找到了斧头，这时再看邻居觉得这个人很高尚。臆测并非全对，所以“不要让你的怀疑、猜想不加检验地得到膨胀，直至它变得根深蒂固。无论如何，从理论上说最好的念头会因不加鉴别的接受而受损，却会因严格的检验而茁壮。”

有这样一道大家都熟悉的题：在给定一个周长不变的所有四边形中，求面积最大的那个四边形。初步分析知周长是永远不变的，是一个常量，而面积会随着四边形长和宽的限制而改变，其为一个变量，也就是说从所有的变量中找出变量是最大的那个。笔者在带领学生分类复习求图形面积中的长方形、正方形面积后（苏教版小学数学六年级下册），把该题出示给学生进行有意识的尝试。

这类习题给学生思维拓展的空间最大，易于学生进行猜测。怎样的四边形面积会最大呢？最简单的猜测，可能是圆，因为其是所有周长相同的图形中面积最大的，但是它不是四边形。什么样的图形最接近四边形呢？“一个容易想到的猜测是正方形。如果我们认真对待这个猜测，那就说明白它意味着什么，我们有勇气申明，”在所有周长给定的四边形中，正方形的面积最大。对于自己的猜测进行系统检验，形成自己认知构架下的“真理”。

师：这个论断是否正确呢？可以把上述的式子形成一个等价后的式子：a2+2ab+b2>4ab（板书）。通过观察式子可以继续等价：a2-2ab+b2>0，即有（a-b）2>0（板书）。要想使这个不等式成立，a=b的情况应被排除。这时我们检验的矩形就变成正方形。命题：给定周长的所有矩形当中，正方形的面积最大。通过猜测的检验，就变成一个可以拿来使用的定理（定理：（数学術语）经过受逻辑限制的证明为真的陈述）。

新课标倡导提升学生素养，教师就要引导学生主动思考、探索、再创造，培养其良好的思维品质与探究精神。通过猜想进行数学解题，将复杂的问题简单化，将新的知识得以“旧”化，学生的思维在“试误”当中就会寻求到“真理”的存在。猜想，不仅是科学研究中发现问题的重要源泉，也是解题过程中经常需要的一种想象形式。也如G.波利亚所说：“我要向各年级所有对数学有兴趣的学生提出：的确，我们应该学习证明法，但我们也要学会猜想。”猜想思维不容置疑的就是创造性思维，而猜想意识与习惯则是学生可持续发展的重要品质。教学中，使学生的创造性思维得以培养，那就引导学生进行猜想，建立猜想意识，进而使学生的品质得以提升。这些任务的推进，就从深度解题开始。