《平方差公式》教学设计与反思

【摘要】本文以《平方差公式》教学为例，阐述在初中数学教学中向学生渗透从一般到特殊、从具体到抽象、数形结合等数学思想的途径，以期提升学生数学学科素养。

【关键词】平方差公式 数形结合 简便运算

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）12A-0103-03

平方差公式是初中阶段一个非常重要的公式，是学生掌握了多项式乘法后自然过渡到的具有特殊形式的多项式乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例，它在初中阶段的学习中具有重要的地位。某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成平方差公式的形式。当遇到特殊形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果，优化运算过程。平方差公式也是后续学习因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用。

一、内容和内容解析

（一）内容

平方差公式。

（二）内容解析

平方差公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征。公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式、分式等任何代数式。平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项为基础，从一般形式的整式乘法运算到特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较、抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象的研究方法。用几何图形说明代数式，也是本章节的一条主线，所以本节课也利用图形面积辅助对公式意义的理解。基于以上分析，笔者确定本节课的教学重点是：理解平方差公式。

二、目标和目标解析

（一）目标

1.理解平方差公式，能运用公式进行计算;

2.在推导平方差公式的过程中，经历观察、比较、分析、抽象和概括，发展学生的数感、符号意识和运算能力;

3.在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象的研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合、转化的思想。

（二）目标解析

达成目标1的标志是：理解平方差公式的基本结构和特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式的内容，在字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确地运用公式进行计算，同时能自己给出满足平方差公式的式子。

达成目标2的标志是：学生知道由多项式乘法到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式。

达成目标3的标志是：学生在探索公式的过程中，体验由具体到抽象的过程;在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证平方差公式的方法，感知数形结合的思想。切割不规则图形拼接成规则图形计算面积，感知转化思想。

三、教学问题诊断分析

学生的基本认知能力有：（一）具备用字母代替数、多项式等的能力;（二）熟练掌握幂的运算和整式的乘法，在此基础上继续学习具有特殊形式的多项式乘法。平方差公式是结构特殊的多项式相乘，公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的字母a，b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式等，情况比较复杂，对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数式是公式中的a、哪个数式是公式中的b有一定困难。为了突破这些难点，教师应加强对学生的引导，带领学生分析公式的结构特征，总结两个相乘式子中“一同一反”的量，让学生进一步领会平方差公式的实质。因此，本节课的教学难点是：平方差公式的变式应用。

四、教学支持条件分析

学生可自主动手操作进行剪纸，展示图形割补情况。在学生分小组探究时，教师可以利用多媒体直接展示学生的成果。

五、教学过程设计

师（引入）：上节课我们学习了整式的乘法，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如（a+b）（x+y）=ax+ay+bx+by，某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式。

（一）探究平方差公式

问题1：根据所学知识，计算下列多项式相乘的积，并写出结果。

（1）（x+1）（x-1）=

（2）（2+m）（2-m）=

（3）（2y-3）（2y+3）=

（4）（-a+b）（-a-b）=

师生活动：学生思考回答，教师板书，师生共同评价学生的回答，给予肯定。

设计意图：复习并巩固多项式与多项式相乘的法则，为本节课的学习铺垫。四个具有代表性和层次性的多项式与多项式相乘，可以为之后抽象概括出公式的结构奠定基础，也让学生体会从一般到特殊的数学思想方法。

追问1：这些题目的结果有什么特点？

师生活动：学生观察可以发现结果是平方差的形式，教师此时进行适当的引导。

设计意图：从结果出发寻找公式的结构特征，让学生理解平方差公式名称的由来，体现了本节课的教学重点。

追问2：为什么结果是平方差？

师生活动：教师从结果的特点引导学生发现公式的特殊结构。

设计意图：让学生经历观察、比较、抽象概括的过程，从中体会从一般到特殊的基本思想方法。

追问3：看题目有什么特点？具有怎样特点的两个多项式相乘才得平方差？

师生活动：学生观察发现两个多项式相乘，括号内符号为“一同一反”。用一个字母a表示符号相同一项，用另一个字母b表示符号相反一项，根据结果特点，得出此公式（a+b）（a-b）=a2-b2;教师鼓励学生用语言描述公式“两个数的和与这两个数的差的積，等于这两个数的平方差”，强调式子中的a，b可表示数或式子。

设计意图：让学生体验并理解平方差公式的结构特征，抓住“一同一反”这个特征深入剖析平方差公式的本质，加深学生的理解，为后续的公式的灵活运用做好铺垫，从而突破教学难点。

（二）验证平方差公式

问题2：公式的结果含有平方，平方一般用于怎样的计算？

师生活动：学生思考;教师引导学生由一个数的平方联想到正方形的面积，由两个不等数的相乘联想到长方形的面积。

设计意图：从平方差的结果入手，让学生经历从数到形的过程验证平方差公式，同时感悟平方差公式的几何意义，通过探究活动，学生在初次接触平方差公式时能深刻地体会数形结合的思想。

追问1：式子右边平方差你想到什么？

追问2：你可以用图形面积解释式子左右两边的含义吗？

（预设学生可能会出现如下的拼图形式）

师生活动：学生动手操作、交流，教师引导。

设计意图：在计算面积时，引导学生将不规则图形转化成规则图形，渗透数形结合、转化的数学思想。拼图、计算图形的面积这个过程体现学生自主学习以及动手操作的能力，激发学生参与课堂的热情。

（三）巩固运用

例1 判断：下列哪个式子的结果是平方差？如果是，请你把结果表示出来。

（1）（n-m）（m-n）     （2）（m+n）（n+m）

（3）（-m+n）（-m-n）   （4）（-y-x）（x-y）

（5）（y+x）（-x-y）     （6）（3x+2）（3x-2）

（7）（-x+2y）（-x-2y）    （8）（2a+c）（2c-a）

师生活动：师生共同分析解答，教师板书示范解题过程。

设计意图：通过辨析，认真剖析公式的结构特征，检验学生是否理解公式的本质，突出本节课的重点，又为下面让学生自己出题铺垫，从而更好地突破本节课的难点。

练习1 每组出两道题并附上解答过程，看哪组的设计最好。

师生活动：学生小组合作交流，教师参与学生的小组讨论，投屏展示典型、新颖的题目。

设计意图：这样的教学使学生对平方差公式的运用条件有更深入的体会，突破本节课的难点。在此处检验学生的课堂学习效果，捕捉课堂的生成教学，强化重点。让学生明确学习平方差公式的目的是进行简便计算。

练习2 计算：

（1）（x+[12]）（x2+[14]）（x-[12]）

（2）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

（3）（a+b+c）（a-b-c）

师生活动：学生思考并计算，教师引导学生观察并发现规律，及时总结。

设计意图：设计拔高类型的题目，考查学生能力。第（1）问将后两个多项式交换一下位置，便可以运用平方差公式进行计算，得出结果又可以与剩下的多项式运用平方差公式计算，从而实现计算的简便;第（2）问需要乘上（2-1）来构造满足平方差公式的结构，根据等式的性质乘上（2-1）要同时除以（2-1）;第（3）问通过变形，找出完全相同的项是a，（b+c）是符号相反的项，此问难度在于变形，对学生来说解答时有一定的难度，培养学生分析和解决问题的能力。三道练习题，难度呈阶梯式上升，兼顾不同层次的学生。

（四）小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：本节学到哪些知识？感悟到了哪些数学思想？

师生活动：学生自主回答，师生交流。

设计意图：第一个问题使学生梳理本节课所学内容，明确本节课学习平方差公式的目的，能运用公式进行简便计算，把握本节课的核心——平方差公式的应用。第二个问题让学生回顾在探究平方差公式的过程中从一般多项式相乘中发现特殊形式可以直接套用公式，体现了从一般到特殊的数学思想;利用图形面积来解释公式的意义，用图形辅助数，体现了数形结合思想;求不规则图形面积时，运用割补法将不规则图形转化为规则图形进而利用公式，体现了转化的数学思想。

（五）布置作业

教科书习题14.2第1题。

（六）板书设计

（七）目标检测设计

1.下列各式中，不能运用平方差公式进行计算的是（  ）

（A）（m-n）（-m-n） （B）（x3+y3）（y3-x3）

（C）（-m+n）（m-n）    （D）（2x-3）（2x+3）

2.运用平方差公式计算

（1）（mn+9）（9-mn） （2）2x（x-1）-（2x+1）（1-2x）

3.计算

（1）1998×2002 （2）（9+1）（92+1）（94+1）（98+1）

六、教学反思

（一）对教材的反思

平方差公式是某些特殊形式的多项式的乘法，是学生在学习了多项式乘法之后学习的第一个重要的公式，为后续因式分解中公式法的学习，以及后面分式的化简求值奠定基础，是初中代数的重要内容。

探索平方差公式的过程，通过观察、比较具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果，抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象的研究问题的方法。

用几何图形说明代数式也是这一章的一条主线，所以本节课也利用图形面积辅助对公式意义的理解。笔者在备课时积极研究教材的探究题以及课后习题，准确把握本节课的重点与难点。

（二）对教学过程的反思

在导入环节，笔者基于学生的知识生长点，从复习回顾多项式乘法法则入手，利用四个具有特殊形式的多项式相乘，通过设计问题链，引导学生观察、比较，发现结果的结构特征：平方差，让学生对平方差公式有第一印象。再引导学生思考产生这样特殊结果的原因，让学生去发现式子左边多项式存在“一同一反”的特征，强化对公式结构特征的理解。

在抽象概括的环节，笔者注重培养学生的语言表述能力。验证平方差公式时，从“平方”入手引导学生从图形面积去验证公式，公式右边看作边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积等。在此过程中，利用拼图使学生更加直观地感受面积的转化，渗透数形结合以及转化思想。

验证公式后，笔者通过设置练习检验学生对知识的掌握情况。笔者通过例1带领学生巩固平方差公式;练习1让学生自己设计题目并完成计算，学生必须在足够了解公式结构的基础上才能设计出好题目，此环节满足不同层次的学生。学生的分享展示，体现公式应用的广度和深度，在练习2设置了三道不一样的提高题，让不同层次的学生都收获满满。最后从方法和思想两方面进行课堂小结，再次向学生渗透相关数学思想。

注：本课例荣获2019年南宁市初中数学优质课比赛二等奖。

作者简介：陈佳（1987— ），女，广西博白人，中學一级教师，理学学士。研究方向：中学数学教学。

（责编 刘小瑗）