一道中考题的多角度解答

罗峻 段利芳

摘要：本文对2018年武汉市中考物理试题第16题作多角度的分析和解答，揭示蕴涵其中的思想方法，挖掘问题的本质属性，以提高学生的空间想象、逻辑思维能力，优化思维品质，培养学生探索创新的意识.

关键词：中考题;解答;拓展

随着一年一度的中考落下帷幕，涌现出一批构思巧妙，令人深思的考题.这些考题看似毫不起眼，实则内涵丰富，解法多样灵活.对这些问题加以解答研究，并揭示出蕴涵其中的思想方法，挖掘出问题的本质属性，可以提高学生的空间想象、逻辑思维能力，优化思维品质，培养学生探索创新的意识.

1 试题呈现

题目 （2018年武汉中考第16题）如图1，△ABC中，∠ACB =60°，AC=1，D是边AB中点，E是BC上一点，若DE平分△ABC周长，则DE的长是___________.

本题文字精炼，图形简洁优美，构思巧妙，内涵丰富，立足基础，能力并重，解答它极富思维含量，不失为一个很好的数学素材.若从平时解答的普通题目中提取有用的解题信息，联想一些常规方法，便能迅速找到解决问题的途径.

2 试题溯源

在平时教学中，我们要练习大量的题目，有的题目经典显得“老土”，往往受到教师的排斥，但这些题目大多蕴含着丰富的内涵和深邃的思想方法.由题目中“中点”和“平分三角形周长”的条件，我们易想起两道简单而常见的平几题：

问题1在等腰△ABC中，AB =AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长和底边长.

问题2 如图2，在△ABC中，AB =12，AC =20，求BC边上的中线AD的取值范围.

问题1采用分类讨论，设未知数列出方程组解决问题;问题2只需倍长中线AD，构造全等三角形即可解答，这里的“设未知数”和“倍长中线”都是很重要又常见的解决问题的利器.

3 解法探究

由条件“D是AB中点”，联想到三角形中位线或倍长中线，因此可作平行线或将ED倍长，又由“DE平分三角形的周长”，发现AC+ CE= BE，可将AC+CE转换成同一直线上的另一线段，其中可用设未知数的方法，利用图形性质得出相等的线段，并利用60。角这个特殊条件解决，

思路1 作平行线，利用中位线定理

解法1 如图3，过点A作AF //DE交BC的延长线于点F.

因为DE平分△ABC的周长，设CE =x，则BE =AC+ CE =1 +x.

因为DE //AF，D为AB的中点，那么DE为△BAF的中位线，则EF =BE =1+x.

那么CF =1 =AC.

又因为∠ACB= 60°，则∠FCA= 120°。

在△ACF中，顶角∠FCA= 120°，腰AC =1，解这个三角形得AF=√3

因此 DE=1/2AF=√3/2

解法2 如图4，过点D作DF //AC交BE于点F.设CE =x，同解法1，易知BE =1 +x.

因为DF为△ABC的中位线，则DF=1/2AC= 1/2

F为BC中点，则CF =1/2BC= 1/2（2x+1）=_x+1/2

因此EE=1/2，即EF= DF.

又因为∠DFB=∠C= 60°，在△DEF中，∠EFD =120°，DF= 1/2可解得DE=√3/2

说明解法1、解法2都是遵循D是AC中点，作平行线构造中位线，并解顶角是120°的等腰三角形.解题是由已知条件运用已知定义、定理、法则，通过运算推理得到结论的过程.因此，题干条件是什么，能得到什么结论，需要什么条件，条件与结论之间用什么方法打通，有哪些思路，这是解题者必须思考的问题.

思路2 倍长中线，作平行线

解法3如图5，连接CD并延长至点F，使DF=CD，连接BF，過点F作FG //DE交BC于点G.

因为AD= BD，∠CDA= ∠BDF，CD= DF，

所以△ACD≌△BFD（SAS）.

那么BF =AC =1，CD= DF.

而DE //GF，则E是CG的中点.

因此DE是△CFG的中位线.所以EC= CE=x，

又EB =1 +x，所以BG =1.

即△BFG是腰长为1的等腰三角形.

又∠A+∠CBA =120°，由全等知∠A= ∠ABF.

所以∠ABF+∠CBA =120°，

在△BFG中，解得FG=√3.所以DE=√3/2，

说明 解法3的解题思路是先倍长中线CD，得全等三角形，作平行线后，利用平行线等分线段定理得E是CG中点，构造出三角形中位线，利用图形的性质解腰长为1、顶角为120°的等腰△BFG，即可解决问题这里的倍长中线、作平行线都是解题的通法，可见遵循已知条件，尝试添置常见辅助线是解题经验中的重要一环.

思路3倍长中点线段ED，构造全等，结合平行四边形性质

解法4 如图6，延长ED到点F，使DF= DE，连接AF，过点C作CG //EF交AF于点G.

设CE =x，由ED=DF，∠ADF=∠EDB，AD=BD，得△BDE≌△ADF（SAS）.

所以BE =AF =1 +x，∠B= ∠BAF.

则AF //BC。

又因为CG //EF，则四边形CEFG是平行四边形.

那么FG= CE=x.所以AG =AF - FG =1.

即AC =AG =1.

又因为∠B= ∠BAF，∠ACB =60°，

所以∠CAB+ ∠B =120°= ∠CAF.

在△ACG中，∠CAG= 120°，AC =AG =1，锯得CG=√3，所以EF=√3，于是ED=√3/2.

解法5 如图7，延长ED到点F，使DF= ED，连接AF，过点E作EG //AC交AF于点G.

同解法4 易证△ADF≌△BDE，四边形CEGA是平行四边形.

设CE =x，则AG=x，FG =1.

而EG =AC =1，那么EG= FG.

可推出∠CAF= ∠CAB+ ∠BAF= ∠CAB+ ∠B=120°.即∠EGF =120°.

在△EFG中，得EF=√3，贝ED=√3/2

说明 解法4、解法5的解题思路是倍长与中点有关的线段E，构成全等三角形，再作平行线，构成平行四边形，再利用60°角和全等的性质及平行四边形的性质得出一个顶角为120°，腰长为1的等腰三角形，解这个三角形即可.这里的倍长线段ED构造全等，作平行线构造平行四边形，都是对此类问题的通用方法，因此在平时教学过程中，唯有注重通法通解，学生才可在以后的解题中起到潜移默化，快速解决问题，达到解一题，通一类，会一片的效果.

思路4 特值法

解法6 由题目条件“E是BC上一点”，改变图形的形状，使之特殊化，当E与C重合，且∠A= 60°时，△ABC是等边三角形.如图8，易看出此时皆符合题目条件，即CD是等边三角形的高，则CD=√3/2.

说明 特殊值法是在特殊条件下（如特殊位置、特殊数值）求得结果的一种非常规方法，特殊是一般的一种形式，其结果符合一般情形和一般规律.虽然在解题教学中，淡化特殊解法，但淡化并不等于不用，在有限的时间内，对于选择、填空题是制胜法宝，应该重视.如若在进行一题多解的通性解法后，补充问题的特解、妙解，往往可以让人眼前一亮，从而提升学生对数学问题的探究兴趣和欲望，而且特解、妙解是突破惯性思维的创造性解法，能提升学生的创新品质.

4 结论推广与类题链接

著名数学家希尔伯特说过：“一个问题的解决意味着一系列新的问题诞生，当我们解题成功时，不要忘了提出新的问题，因为还有许多宝藏尚未开发出来，”在解得问题答案之后，如果引导学生及时将试题的结论进行更深层次的探究和拓展，不但可以激发学生主动探索知识的欲望，培养学生学习数学的兴趣，而且还可以提高学生类比、联想，以及分析、处理问题的能力.

注意到60°是个较特殊的条件，能否进一步弱化？也正因为60°角的强化，才为特殊解创造了条件，也为不能直接得出答案的考生，大开方便之门，这也是本题的“瑕疵”所在.

推广 如图1，在△ABC中，∠ACB =a，AC=m，D是AB中点，E是BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长是____.

解析DE=m·cosα/2.具体证明可类比上面解法，此处略写.

数学大师陈省身先生曾经表达过这个意思：“单个数学题再精致，也只是孤岛，不具备普遍性.”好的习题往往有深刻的问题背景，教师不但要带领学生有效探究问题本质，在充分体验、理解、内化的基础上进行提炼升华，还要让学生了解习题的“前世今生”，帮助学生了解同类问题的呈现方式，展现“未来”，促使学生在不同的知识板块形成完整的知识链接.

除了前面“试题溯源”提到的两个问题外，再看两个类似问题

链接1 如图9，已知△FMC，延长CM至B，使BM= CM，E在FM上，若∠BEM=∠F，求證：BE= CF.（本题逆命题也成立，即将条件∠BEM=∠F与结论BE=CF互换）.

链接2 如图10，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF //AD交CA的延长线于F，交AB于点G，若AD是△ABC的角平分线，求证：BG= CF.

这两道题目解法甚多，限于篇幅，本文不再赘述.

5 一点感想

怎样学好数学？有位数学家说过：第一，解题;第二，解题;第三，还是解题.可见，解题是贯穿数学活动的不可缺少的一环.拿到一道试题，在理解题意，弄清主要条件及结论，应该立即思考问题属于哪一主题，哪一章节？与这一章节的哪个类型的问题比较接近？与已做过的哪个问题比较接近？以前的问题是如何解决的？能否用这种方法解决？这样一想，下手的地方就有了，解题的方向就有了，这就是解题经验在解决问题中的应用.运用解题经验、模式识别，将隐性问题显现，可以简洁回答解题中的两个基本问题：从何处下手？向何方前进？从辩认题型模式人手，向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进.正如本题所提到的作平行线、倍长中线、倍长与中点有关线段，构造中位线、平行四边形、等腰三角形等基本模型，都是平时解题常见的方法和手段，也是宝贵的解题经验与直觉.因此在平时教学中，要引导学生在解题中，积累解题经验，提炼常用基本模型，从而提高解题能力，提高数学素养.

参考文献：

[1]罗峻，马先明.勤提炼活运用促提高——“双A”字基本图形在解题中的应用[J].中学数学（下），2013（8）：83-87.